Resolva, em R, as seguintes inequações.
(2x+5)(x-3) >= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação (2x + 5)(x - 3) >= 0. Aqui, estamos trabalhando com inequações do segundo grau, que envolvem multiplicação de expressões lineares. Para resolver, vamos precisar entender onde o produto desses dois termos é maior ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de x que fazem cada fator igual a zero:
  1. 2x + 5 = 0
2x + 5 = 0 implies 2x = -5 implies x = -52
  1. x - 3 = 0
x - 3 = 0 implies x = 3
Então, os pontos críticos são x = -52 e x = 3.

Passo 3

Esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos:
  1. x < -52
  2. -52 < x < 3
  3. x > 3
Vamos analisar o sinal do produto (2x + 5)(x - 3) em cada intervalo.

Passo 4

Intervalo 1: x < -52
Escolha um valor, por exemplo, x = -3.
2(-3) + 5 = -6 + 5 = -1 (negativo)
-3 - 3 = -6 (negativo)
Produto: (-)(-) = (+)
Então, o produto é positivo nesse intervalo.

Passo 5

Intervalo 2: -52 < x < 3
Escolha um valor, por exemplo, x = 0.
2(0) + 5 = 0 + 5 = 5 (positivo)
0 - 3 = -3 (negativo)
Produto: (+)(-) = (-)
Então, o produto é negativo nesse intervalo.

Passo 6

Intervalo 3: x > 3
Escolha um valor, por exemplo, x = 4.
2(4) + 5 = 8 + 5 = 13 (positivo)
4 - 3 = 1 (positivo)
Produto: (+)(+) = (+)
Então, o produto é positivo nesse intervalo.

Passo 7

Agora, lembrando que a inequação é maior ou igual a zero, ou seja, queremos onde o produto é positivo ou zero. Além dos intervalos onde o produto é positivo, incluímos os pontos onde ele é zero.

Resposta

A solução da inequação é:
x in (-infty, -52] cup [3, +infty)

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