Considere a, b in R, de modo que a>0, b>0, a /=1 e b /=1. Prove as seguintes propriedades.
log a alphabeta=log a alpha-log a beta, para quaisquer alpha, beta>0 com alpha, beta>0.

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade do logaritmo
logaalphabeta ;=;logaalpha ;-;logabeta
onde a>0, aneq1, alpha>0 e beta>0. Vamos usar a definição de logaritmo e a regra de potências do mesmo base.

Passo 2

Lembramos que, por definição,
logax = y
se, e somente se,
a^y = x

Passo 3

Seja logaalpha = u e logabeta = v.
Então, pela definição de logaritmo, temos
a^u = alpha e a^v = beta

Passo 4

Usando a propriedade de potências de mesma base,
a^ua^v = a^u-v,
logo
alphabeta = a^ua^v = a^u-v

Passo 5

Aplicando o logaritmo de base a em ambos os lados,
logaalphabeta = logal(a^u-vr) = u-v = logaalpha ;-;logabeta

Resposta

logaalphabeta = logaalpha - logabeta

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