Resolva as seguintes inequações:
(x-2)(1-2 x) <= 0

Passo 1

Estamos diante de uma inequação do segundo grau em forma fatorada:
(x - 2),(1 - 2x) <= 0
O conteúdo aqui é análise de sinal de produto de fatores. Vamos identificar as raízes de cada fator e montar o estudo de sinais.

Passo 2

Encontramos as raízes dos fatores igualando cada um a zero:
x - 2 = 0 Longrightarrow x = 2,
1 - 2x = 0 Longrightarrow 2x = 1 ;Longrightarrow; x = tfrac12
Esses valores particionam a reta em três intervalos.

Passo 3

Analisamos o sinal de cada fator em cada intervalo:
  • Para x<tfrac12: x-2<0 e 1-2x>0, logo o produto é negativo.
  • Para tfrac12<x<2: x-2<0 e 1-2x<0, logo o produto é positivo.
  • Para x>2: x-2>0 e 1-2x<0, logo o produto é negativo.
    Além disso, em x=tfrac12 ou x=2 o produto vale zero, o que satisfaz a desigualdade “ <=0”.

Passo 4

Como queremos (x-2)(1-2x)<=0, aceitamos onde o produto é negativo ou zero. Assim:
  • produto negativo em (-infty,tfrac12)cup(2,infty),
  • produto zero em x=tfrac12 e x=2.

Resposta

(-infty,tfrac12];cup;[2,infty)

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