Resolva as seguintes inequações:
7 <= x^2-2 x+8 <= 8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação composta
7 <= x^2 - 2x + 8 <= 8
O conteúdo envolvido é inequação dupla com expressão quadrática. Vamos separar em duas partes:
  1. ;x^2-2x+8 >= 7.
  2. ;x^2-2x+8 <= 8.
    Depois faremos a intersecção das soluções.

Passo 2

Resolver ;x^2-2x+8 >= 7.
Subtraindo 7 de ambos os lados:
x^2-2x+8 >= 7 Longrightarrow x^2-2x+1 >= 0 Longrightarrow (x-1)^2 >= 0
Como o quadrado de qualquer número real é não-negativo, essa desigualdade vale para todo xinR.

Passo 3

Resolver ;x^2-2x+8 <= 8.
Subtraindo 8 de ambos os lados:
x^2-2x+8 <= 8 Longrightarrow x^2-2x <= 0 Longrightarrow x(x-2) <= 0
Estudando o sinal de x(x-2), vemos que o produto é não-positivo quando x está entre as raízes 0 e 2. Logo
xin [0,2]

Passo 4

Fazendo a intersecção das soluções das duas desigualdades:
R ;cap; [0,2] = [0,2]

Resposta

[0,2]

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