Mostre que:
(a) As funções y(t)=c e^t e y(t)=c t^3+2, onde c in R são soluções da equação diferencial y^prime(t)-y(t)=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, ao substituir cada uma das funções dadas na equação diferencial
y'(t)-y(t)=0,
o resultado é uma identidade verdadeira. O conteúdo envolve cálculo de derivada e teste de solução de uma EDO linear de 1.º ordem.

Passo 2

Considere primeiro
y(t)=c,e^t, cinR
A derivada é
y'(t)=ddtl(c,e^tr)=c,e^t
Substituindo em y'-y vem
y'(t)-y(t)=c,e^t-l(c,e^tr)=0
Como o resultado é zero para todo t, concluímos que y(t)=c,e^t satisfaz a EDO.

Passo 3

Agora considere
y(t)=c,t^3+2, cinR
A derivada é
y'(t)=ddtl(c,t^3+2r)=3,c,t^2
Substituindo em y'-y
y'(t)-y(t)=3,c,t^2-l(c,t^3+2r)=-c,t^3+3,c,t^2-2,
que não é identicamente zero para todos os t (a não ser em casos absurdos como 2=0). Portanto essa função não satisfaz a EDO.

Resposta

A família y(t)=c,e^t é solução da equação y'-y=0, enquanto y(t)=c,t^3+2 não satisfaz essa equação.

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