Resolva as seguintes inequações e escreva a solução usando a notação de intervalo e graficamente:
xx+1>3

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a inequação xx+1 > 3. Isso é uma inequação racional, então vamos precisar achar primeiro o domínio, depois reescrever tudo numa única fração e, por fim, analisar o sinal dessa fração.

Passo 2

Identificamos o domínio exigindo que o denominador seja diferente de zero, ou seja x+1 neq 0, logo x neq -1. Em seguida, trazemos o 3 pro lado esquerdo e fazemos denominador comum:
xx+1 - 3 > 0
x - 3(x+1)x+1 > 0
-2x - 3x+1 > 0
Para facilitar o estudo de sinais, multiplicamos numerador e denominador por -1 (lembrando de inverter o sinal da inequação):
2x + 3x+1 < 0

Passo 3

Agora encontramos os pontos críticos onde numerador ou denominador se anulam:
  • Numerador: 2x + 3 = 0 em x = -tfrac32.
  • Denominador: x + 1 = 0 em x = -1.
    Esses pontos particionam a reta em três intervalos. Fazendo o teste de sinal em cada intervalo para 2x+3x+1:
  • Em ( -infty, -tfrac32 ): numerador < 0 e denominador < 0 ⇒ quociente > 0 (não satisfaz).
  • Em ( -tfrac32, -1 ): numerador > 0 e denominador < 0 ⇒ quociente < 0 (satisfaz).
  • Em ( -1, +infty ): numerador > 0 e denominador > 0 ⇒ quociente > 0 (não satisfaz).

Resposta

Solução em notação de intervalo: l(-tfrac32, -1r).
Gráfico no eixo real: marcamos círculos vazios em x=-tfrac32 e x=-1 e sombreamos o segmento entre eles, indicando todos os pontos de -tfrac32,-1.

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