Resolva as seguintes inequações, escrevendo as soluções na forma de intervalo da reta.
-t^{3}+2 t>0

Passo 1

O enunciado pede que se resolva a inequação -t^{3}+2t>0 e que a solução seja escrita em forma de intervalo na reta.
Informações dadas:
  • A expressão a analisar é -t^{3}+2t.
    Pergunta pedida:
  • Determinar todos os valores de t que tornam -t^{3}+2t estritamente positivo e escrever a solução como intervalo(s).

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o polinômio para identificar suas raízes (pontos em que a expressão pode mudar de sinal). Vou fatorar passo a passo.
Começo por tirar o fator comum t:
-t^{3}+2t = t(-t^{2}+2).
Reescrevo -t^{2}+2 como 2-t^{2} e observo que 2-t^{2} é diferença de quadrados com \sqrt{2}:
2-t^{2}=(\sqrt{2}-t)(\sqrt{2}+t).
Portanto uma fatoração conveniente é
-t^{3}+2t = t(\sqrt{2}-t)(\sqrt{2}+t).

Passo 3

As raízes (zeros) são os valores de t que anulam algum dos fatores:
t=0,\qquad \sqrt{2}-t=0\Rightarrow t=\sqrt{2},\qquad \sqrt{2}+t=0\Rightarrow t=-\sqrt{2}.
Logo os pontos críticos são t=-\sqrt{2}, t=0 e t=\sqrt{2}. A expressão é um polinômio contínuo, então só pode trocar de sinal nesses pontos.

Passo 4

Vou fazer a análise de sinal utilizando os intervalos obtidos pelas raízes:
(-\infty,-\sqrt{2}),\quad (-\sqrt{2},0),\quad (0,\sqrt{2}),\quad (\sqrt{2},\infty).
Em cada intervalo avalio o sinal de cada fator t, \sqrt{2}-t e \sqrt{2}+t. O sinal do produto é o produto dos sinais dos fatores.

Passo 5

Calculo o sinal em cada intervalo:
  • Para t<-\sqrt{2}:
    • t é negativo;
    • \sqrt{2}-t é positivo (subtrai-se um número negativo);
    • \sqrt{2}+t é negativo (pois t<-\sqrt{2} implica \sqrt{2}+t<0).
      Produto: (-) \cdot (+) \cdot (-) = (+). Então -t^{3}+2t>0 nesse intervalo.
  • Para -\sqrt{2}<t<0:
    • t é negativo;
    • \sqrt{2}-t é positivo;
    • \sqrt{2}+t é positivo (pois t>-\sqrt{2} faz \sqrt{2}+t>0).
      Produto: (-) \cdot (+) \cdot (+) = (-). Então a expressão é negativa nesse intervalo.
  • Para 0<t<\sqrt{2}:
    • t é positivo;
    • \sqrt{2}-t é positivo;
    • \sqrt{2}+t é positivo.
      Produto: (+) \cdot (+) \cdot (+) = (+). Então a expressão é positiva nesse intervalo.
  • Para t>\sqrt{2}:
    • t é positivo;
    • \sqrt{2}-t é negativo;
    • \sqrt{2}+t é positivo.
      Produto: (+) \cdot (-) \cdot (+) = (-). Então a expressão é negativa nesse intervalo.

Passo 6

Como a inequação é estrita > (positivo), devemos escolher os intervalos onde o produto é positivo e excluir os pontos em que a expressão é zero (as raízes). Pelos sinais encontrados, os intervalos válidos são:
(-\infty,-\sqrt{2})\quad\text{e}\quad(0,\sqrt{2}).
Portanto a solução é a união desses dois intervalos.

Passo 7

Verificação rápida com pontos-testes (confirmação):
  • Tomando t=-2 (está em (-\infty,-\sqrt{2})): -(-8)+2(-2)=8-4=4>0. OK.
  • Tomando t=1 (está em (0,\sqrt{2})): -1+2=1>0. OK.

Resposta

(-\infty,-\sqrt{2})\cup(0,\sqrt{2})

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