Resolva as seguintes inequações, escrevendo as soluções na forma de intervalo da reta.
Passo 1
O enunciado pede que se resolva a inequação
e que a solução seja escrita em forma de intervalo na reta.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão a analisar é
.
Pergunta pedida: - Determinar todos os valores de
que tornam estritamente positivo e escrever a solução como intervalo(s).
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o polinômio para identificar suas raízes (pontos em que a expressão pode mudar de sinal). Vou fatorar passo a passo.
Começo por tirar o fator comum
:
Reescrevo
como
e observo que
é diferença de quadrados com
:
Portanto uma fatoração conveniente é
Passo 3
As raízes (zeros) são os valores de
que anulam algum dos fatores:
Logo os pontos críticos são
,
e
. A expressão é um polinômio contínuo, então só pode trocar de sinal nesses pontos.
Passo 4
Vou fazer a análise de sinal utilizando os intervalos obtidos pelas raízes:
Em cada intervalo avalio o sinal de cada fator
,
e
. O sinal do produto é o produto dos sinais dos fatores.
Passo 5
Calculo o sinal em cada intervalo:
-
Para
: -
é negativo; -
é positivo (subtrai-se um número negativo); -
é negativo (pois implica ).
Produto:. Então nesse intervalo.
-
-
Para
: -
é negativo; -
é positivo; -
é positivo (pois faz ).
Produto:. Então a expressão é negativa nesse intervalo.
-
-
Para
: -
é positivo; -
é positivo; -
é positivo.
Produto:. Então a expressão é positiva nesse intervalo.
-
-
Para
: -
é positivo; -
é negativo; -
é positivo.
Produto:. Então a expressão é negativa nesse intervalo.
-
Passo 6
Como a inequação é estrita
(positivo), devemos escolher os intervalos onde o produto é positivo e excluir os pontos em que a expressão é zero (as raízes). Pelos sinais encontrados, os intervalos válidos são:
Portanto a solução é a união desses dois intervalos.
Passo 7
Verificação rápida com pontos-testes (confirmação):
- Tomando
(está em ): . OK. - Tomando
(está em ): . OK.