(3) Resolva as seguintes inequações:
(\frac{x-2}{x-3} \leq x-1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x - 2x - 3 <= x - 1
O conteúdo envolve inequações racionais: primeiro a gente passa tudo para um único lado, escreve como um quociente <=0, depois estuda o sinal do numerador e do denominador.

Passo 2

Vamos subtrair x-1 de ambos os lados e obter uma única fração:
x - 2x - 3 - (x - 1) <= 0

Passo 3

Colocando na mesma base (x-3), fica
x - 2 - (x-1)(x-3)x-3 <= 0
Agora expandimos o numerador.

Passo 4

Calculando o numerador:
x - 2 - l(x^2 - 4x + 3r) = x - 2 - x^2 + 4x - 3 = -x^2 + 5x - 5
Portanto a inequação é
-x^2 + 5x - 5x - 3 <= 0

Passo 5

Vamos achar as raízes do numerador e os pontos que anulam o denominador:
— Numerador zero quando
-x^2 + 5x - 5 = 0 Longrightarrow x^2 - 5x + 5 = 0
cuja soluções são
x = 5 pm raiz25 - 202 = 5 pm raiz52
Denominador zero em x=3, que fica fora do domínio.

Passo 6

Chamando
alpha = 5 - raiz52, beta = 5 + raiz52,
temos na reta real os pontos críticos alpha<3<beta. Estudando o sinal de
-x^2 + 5x - 5x - 3
por análise de sinais (ou tabela), encontramos que a fração é <=0 exatamente em
[alpha,,3)cup[beta,,infty)

Resposta

boxedx in l[5 - raiz52,,3r);cup;l[5 + raiz52,,inftyr)

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