(3) Resolva as seguintes inequações:
(x^{4}-3 x{2}+2>x{2}-1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x^4 - 3x^2 + 2 > x^2 - 1
Isso envolve polinômio de quarto grau. Vamos usar as etapas clássicas: trazer tudo para um lado, fatorar o polinômio resultante e, em seguida, estudar o sinal do produto dos fatores.

Passo 2

Subtraímos x^2-1 dos dois lados para obter uma inequação na forma “polinômio > 0”:
x^4 - 3x^2 + 2 - l(x^2 - 1r) > 0
x^4 - 4x^2 + 3 > 0

Passo 3

Fatoramos o polinômio x^4 - 4x^2 + 3. Note que é um quadrático em x^2:
x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3)

Passo 4

Determinamos as raízes de cada fator:
x^2 - 1 = 0 implies x = pm 1, x^2 - 3 = 0 implies x = pm raiz3
Esses valores são pontos em que o produto muda de sinal.

Passo 5

Fazemos o estudo de sinal de (x^2-1)(x^2-3). Em cada intervalo determinado pelos pontos -infty,,-raiz3,,-1,,1,,raiz3,,+infty:
  • Se lvert xrvert > raiz3, então x^2-1>0 e x^2-3>0, produto >0.
  • Se 1<lvert xrvert<raiz3, então x^2-1>0 e x^2-3<0, produto <0.
  • Se lvert xrvert<1, então x^2-1<0 e x^2-3<0, produto >0.
Como queremos (x^2-1)(x^2-3)>0, mantemos os intervalos onde o produto é positivo.

Resposta

x in (-infty,,-raiz3) ;cup; (-1,1);cup;(raiz3,infty)

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