(3) Resolva as seguintes inequações:
(\frac{x}{x+1}-\frac{x}{x-1} \geq 0)

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação
xx+1-xx-1>=0
O conteúdo é inequação racional. Vamos precisar de: determinar o domínio, juntar as frações, achar zeros de numerador e denominador, montar o diagrama de sinais e extrair a solução.

Passo 2

Determinar o domínio. Não podemos ter x+1=0 nem x-1=0, logo
xneq -1, xneq 1

Passo 3

Colapsar a expressão numa única fração:
xx+1-xx-1 =x(x-1)-x(x+1)(x+1)(x-1) =-2x(x+1)(x-1)
Logo a inequação fica
-2x(x+1)(x-1)>=0

Passo 4

Para facilitar, multiplicamos ambos os lados por -1 (invertendo o sentido da desigualdade):
2x(x+1)(x-1)<=0

Passo 5

Identificar pontos críticos:
– Numerador zero em x=0.
– Denominador zero em x=-1 e x=1.

Passo 6

Analisar o sinal de 2x(x+1)(x-1) em cada intervalo:
– Para x<-1: numerador 2x<0, denominador (x+1)(x-1)>0 Rightarrow fração <0 Rightarrow satisfaz.
– Para -1<x<0: numerador <0, denominador <0 Rightarrow fração >0 Rightarrow não satisfaz.
– Para 0<x<1: numerador >0, denominador <0 Rightarrow fração <0 Rightarrow satisfaz.
– Para x>1: numerador >0, denominador >0 Rightarrow fração >0 Rightarrow não satisfaz.

Passo 7

Construir a solução: incluímos x=0 (fração nula) e excluímos x=-1,1. Assim,
(-infty,-1)cup[0,1)

Resposta

(-infty,-1)cup[0,1)

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