(3) Resolva as seguintes inequações:
(\frac{x{2}-x+2}{x{2}+4 x} \geq 0)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x^2-x+2x^2+4x >= 0
O conteúdo principal é estudo de sinal de uma função do tipo P(x)Q(x). Vamos identificar o domínio, os zeros de P(x) e Q(x), e montar o quadro de sinais.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo que o denominador seja diferente de zero:
x^2+4x = x(x+4)neq 0
Logo xneq 0 e xneq -4. O domínio é Rsetminus0,-4.

Passo 3

Analisamos o numerador P(x)=x^2-x+2. O discriminante é
De<a = (-1)^2-4cdot1cdot2 = 1-8 = -7 < 0,
portanto P(x)>0 para todo xinR. O numerador nunca zera e é sempre positivo.

Passo 4

Analisamos o denominador Q(x)=x(x+4). Os zeros são x=0 e x=-4.
  • Para x<-4: x<0 e x+4<0 Rightarrow Q(x)>0.
  • Para -4<x<0: x<0 e x+4>0 Rightarrow Q(x)<0.
  • Para x>0: x>0 e x+4>0 Rightarrow Q(x)>0.

Passo 5

Como P(x)>0 sempre, o sinal da fração P(x)Q(x) é o mesmo de Q(x). Queremos
P(x)Q(x) >= 0,
mas como o numerador nunca zera, buscamos onde a fração é positiva, ou seja Q(x)>0. Das análises de sinal, isso ocorre em
xin(-infty,-4)cup(0,infty)

Resposta

(-infty,-4)cup(0,infty)

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