Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}+2 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to0}\Bigl(\frac1x - \frac2{x^2+2x}\Bigr).
O conteúdo é limite de expressão algébrica. Vamos usar fatoração, soma de frações e simplificação para remover a indeterminação.

Passo 2

Observe que
x^2+2x = x(x+2).
Então a segunda fração fica \tfrac{2}{x(x+2)}.

Passo 3

Para juntar as frações, usamos o denominador comum x(x+2). Escrevemos
\frac1x = \frac{x+2}{x(x+2)},
pois multiplicamos numerador e denominador por (x+2).

Passo 4

Agora subtraímos as frações:
\frac{x+2}{x(x+2)} \;-\;\frac{2}{x(x+2)} =\frac{(x+2)-2}{x(x+2)} =\frac{x}{x(x+2)}.

Passo 5

Como x\neq0 na expressão inicial, podemos simplificar x/(x(x+2)) para
\frac1{x+2}.

Passo 6

Finalmente, fazemos x\to0 em \tfrac1{x+2}:
\lim_{x\to0}\frac1{x+2} = \frac1{0+2} = \frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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