Resolva as seguintes Inequações:
2 \leq|2 \mathrm{x}+1| \leq 10

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação composta envolvendo valor absoluto
2 \le |2x+1| \le 10.
O conteúdo aqui é estudar propriedades de valor absoluto e depois resolver duas inequações lineares. Vamos quebrar em duas partes:
  1. |2x+1|\ge 2.
  2. |2x+1|\le 10.
    Em seguida, faremos a interseção dos conjuntos obtidos.

Passo 2

Para |2x+1|\ge 2 usamos a definição
|A|\ge a\quad\Longleftrightarrow\quad A\le -a\;\lor\;A\ge a.
Aqui A=2x+1 e a=2. Logo
2x+1\le -2\quad\lor\quad 2x+1\ge 2.
Resolvendo cada ramo:
2x+1\le -2\;\Longrightarrow\;2x\le -3\;\Longrightarrow\;x\le -\tfrac{3}{2},
2x+1\ge 2\;\Longrightarrow\;2x\ge 1\;\Longrightarrow\;x\ge \tfrac{1}{2}.
Assim o conjunto solução dessa parte é
\bigl(-\infty,\,-\tfrac{3}{2}\bigr]\;\cup\;\bigl[\tfrac{1}{2},\,\infty\bigr).

Passo 3

Para |2x+1|\le 10 aplicamos
|A|\le b\quad\Longleftrightarrow\quad -b\le A\le b.
Com A=2x+1 e b=10 temos
-10\le 2x+1\le 10.
Subtraindo 1 em todas as partes:
-11\le 2x\le 9,
e dividindo por 2:
-\tfrac{11}{2}\le x\le \tfrac{9}{2}.
Portanto essa parte dá o intervalo
\bigl[-\tfrac{11}{2},\,\tfrac{9}{2}\bigr].

Passo 4

A solução da inequação composta é a interseção dos resultados dos Passos 2 e 3.
Do Passo 2 temos dois ramos que agora intersectamos com \bigl[-\tfrac{11}{2},\,\tfrac{9}{2}\bigr]:
  1. \bigl(-\infty,-\tfrac{3}{2}\bigr]\cap\bigl[-\tfrac{11}{2},\tfrac{9}{2}\bigr]=\bigl[-\tfrac{11}{2},-\tfrac{3}{2}\bigr].
  2. \bigl[\tfrac{1}{2},\infty\bigr)\cap\bigl[-\tfrac{11}{2},\tfrac{9}{2}\bigr]=\bigl[\tfrac{1}{2},\tfrac{9}{2}\bigr].

Resposta

\bigl[-\tfrac{11}{2},-\tfrac{3}{2}\bigr]\;\cup\;\bigl[\tfrac{1}{2},\tfrac{9}{2}\bigr].

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