Resolva as seguintes Inequações:
x \cdot|x|>x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x \cdot |x| > x.
O conteúdo aqui é inequações envolvendo valor absoluto. Para resolver, vamos dividir em dois casos: x\ge0 e x<0, usando a definição por partes de |x|.

Passo 2

Caso x\ge0. Então |x|=x e a inequação vira
x\cdot x > x.
Isso é equivalente a
x^2 > x \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 - x > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x-1) > 0.
A solução de x(x-1)>0 para x\ge0 é
x > 1.

Passo 3

Caso x<0. Então |x|=-x e a inequação fica
x\cdot(-x) > x \quad\Longleftrightarrow\quad -\,x^2 > x \quad\Longleftrightarrow\quad -x^2 - x > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 + x < 0.
Fatorando,
x(x+1) < 0,
cuja solução é
-1 < x < 0.

Passo 4

Juntando os dois casos, a solução da inequação original é
(-1,0)\,\cup\,(1,\infty).

Resposta

(-1,0)\cup(1,\infty).

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