Resolva as seguintes Inequações:
Determine os valores reais de x para os quais 1<|x-1|<2.

Passo 1

O enunciado pede todos os reais x tais que
1<|x-1|<2.
Para isso vamos usar a definição de valor absoluto e tratar a conjunção das desigualdades |x-1|>1 e |x-1|<2.

Passo 2

Resolvendo |x-1|<2. Pela propriedade
|A|<2\iff -2<A<2,
tomamos A=x-1 e obtemos
-2<x-1<2.
Somando 1 em cada termo, fica
-1<x<3.

Passo 3

Resolvendo |x-1|>1. Pela propriedade
|A|>1\iff A>1\;\text{ou}\;A<-1,
com A=x-1 temos dois casos:
  1. x-1>1\implies x>2.
  2. x-1<-1\implies x<0.

Passo 4

Queremos simultaneamente -1<x<3 e (x<0 ou x>2). A interseção dessas condições é
-1<x<0 \quad\text{ou}\quad 2<x<3.

Resposta

x\in(-1,0)\cup(2,3).

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