Resolva as seguintes inequações:
log 12^2 x-3 log 12 x-4>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
(log12 x)^2 ;-;3log12 x;-;4 ;>;0
Esse tipo de problema envolve uma substituição que reduz a parte logarítmica a uma inequação quadrática e, em seguida, o uso da monotonicidade do logaritmo de base tfrac12 (que é decrescente). Antes de tudo, note que o domínio exige x>0.

Passo 2

Fazendo a substituição
t = log12 x,
a inequação fica
t^2 - 3t - 4 > 0,
que é uma inequação quadrática padrão.

Passo 3

Para resolver
t^2 - 3t - 4 > 0
calculamos o discriminante:
De<a = (-3)^2 - 4cdot1cdot(-4) = 9 + 16 = 25
As raízes são
t = 3 pm 52 ;Longrightarrow; t = 4 ou t = -1
Como o coeficiente de t^2 é positivo, a solução dessa inequação é
t < -1 ou t > 4

Passo 4

Voltando para x, usamos que log12 x é decrescente (base 0<tfrac12<1). Assim, ao passar de t< -1 para x a desigualdade se inverte:
logtfrac12x < -1 ;Longrightarrow; x > l(tfrac12r)^-1 = 2
De modo análogo,
logtfrac12x > 4 ;Longrightarrow; x < l(tfrac12r)^4 = tfrac116
Levando em conta x>0, a solução final é
x in l(0,tfrac116r);cup;(2,infty)

Resposta

x in l(0,tfrac116r),cup,(2,infty)

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