Resolva as seguintes inequações:
x^2<x^x^2-7 x+8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x^2<x^,x^2-7x+8
Trata-se de inequação exponencial em que a base é x e o expoente é E=x^2-7x+8. Para resolver, precisamos:
  1. Determinar o domínio de definição real (quando x^E faz sentido em R).
  2. Analisar separadamente os casos da base em (0,1) e em (1,infty), usando a monotonicidade de x^t em cada intervalo.

Passo 2

Domínio de definição real de x^E: precisamos x>0. Note que em x=1 temos 1^E=1, mas a inequação fica 1<1, que é falsa. Assim ficamos com dois subcasos:
  • 0<x<1
  • x>1

Passo 3

Caso 0<x<1. Nesse intervalo a função tmapsto x^t é decrescente em t. A inequação
x^2<x^E
passa a exigir E<2. Logo
x^2-7x+8<2 Longrightarrow x^2-7x+6<0 Longrightarrow (x-1)(x-6)<0
cuja solução é 1<x<6. Mas isso não intersecta (0,1), logo não há solução para 0<x<1.

Passo 4

Caso x>1. Aqui tmapsto x^t é crescente, e a inequação
x^2<x^E
exige E>2. Assim
x^2-7x+8>2 Longrightarrow x^2-7x+6>0 Longrightarrow (x-1)(x-6)>0
cuja solução é x<1 ou x>6. Intersectando com x>1, resta
x>6

Resposta

x>6

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