Resolva as seguintes inequações em \mathbb{R} :
\frac{\left(-x^{2}+9\right)\left(x^{2}+3 x-4\right)}{-x+6}>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a inequação
\frac{\bigl(-x^{2}+9\bigr)\bigl(x^{2}+3x-4\bigr)}{-x+6}>0.
Este é um problema de inequação racional. Vamos fatorar numerador e denominador, determinar zeros e pontos de descontinuidade, construir o quadro de sinais e identificar os intervalos onde a expressão é positiva.

Passo 2

Fatoramos cada polinômio: -x^{2}+9=-(x^{2}-9)=-(x-3)(x+3), x^{2}+3x-4=(x+4)(x-1), -x+6=-(x-6).
Substituindo, a expressão fica
\frac{-\,(x-3)(x+3)\,(x+4)(x-1)}{-(x-6)} =\frac{(x-3)(x+3)(x+4)(x-1)}{x-6}.

Passo 3

Os fatores críticos (onde numerador ou denominador se anulam) são
x=-4,\;-3,\;1,\;3\quad(\text{zeros do numerador}),\qquad x=6\quad(\text{zero do denominador}).
O domínio exige x\neq6. Nos zeros do numerador a expressão vale zero e não satisfaz “ >0”.

Passo 4

Ordenando os pontos críticos: -4,-3,1,3,6. Vamos analisar o sinal de cada fator em cada intervalo. Os fatores são
x+4,\;x+3,\;x-1,\;x-3,\;x-6.

Passo 5

Quadro de sinais (resumo): -\infty,-4: numér. negativo, denom. negativo ⇒ quociente <0 -4,-3: numér. positivo, denom. negativo ⇒ quociente >0 -3,1: numér. negativo, denom. negativo ⇒ quociente <0 1,3: numér. positivo, denom. negativo ⇒ quociente >0 3,6: numér. negativo, denom. negativo ⇒ quociente <0 (6,\infty): numér. positivo, denom. positivo ⇒ quociente >0

Passo 6

A inequação exige quociente estritamente positivo. Portanto, a solução é
(-4,-3)\,\cup\,(1,3)\,\cup\,(6,\infty).

Resposta

\bigl(-4,-3\bigr)\cup\bigl(1,3\bigr)\cup\bigl(6,\infty\bigr).

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