Resolva as seguintes inequações em \mathbb{R} :
2 x^{3}+11 x^{2}+10 x-8>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a inequação
2x^{3} + 11x^{2} + 10x - 8 > 0.
O conteúdo envolve inequação algébrica de grau 3. Para resolver, vamos encontrar as raízes do polinômio, fatorá-lo e estudar o sinal de cada fator.

Passo 2

Aplicamos o teste de raiz racional: as possíveis raízes são divisores de -8 (termo independente) sobre divisores de 2 (coeficiente líder), ou seja
\pm1,\;\pm2,\;\pm4,\;\pm8,\;\pm\frac12.
Testando x=\tfrac12:
2\bigl(\tfrac12\bigr)^{3}+11\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}+10\bigl(\tfrac12\bigr)-8 = \tfrac14 + \tfrac{11}{4} +5 -8 =0,
logo x=\tfrac12 é raiz.

Passo 3

Fazemos a divisão sintética de 2x^{3}+11x^{2}+10x-8 por x-\tfrac12:
Coeficientes: 2,\;11,\;10,\;-8
 Raiz: \tfrac12 \begin{array}{r|rrrr} \tfrac12 & 2 & 11 & 10 & -8\\hline & & 1 & 6 & 8\\\ & 2 & 12 & 16 & 0 \end{array} O quociente é 2x^{2}+12x+16 e o resto é 0.

Passo 4

Fatoramos o quociente:
2x^{2}+12x+16 = 2\bigl(x^{2}+6x+8\bigr) = 2(x+2)(x+4).
Assim
2x^{3}+11x^{2}+10x-8 = 2\,\bigl(x-\tfrac12\bigr)\,(x+2)\,(x+4).
As raízes são x=\tfrac12, x=-2, x=-4.

Passo 5

Para estudar o sinal de
2\,(x-\tfrac12)\,(x+2)\,(x+4),
note que o 2>0 não altera o sinal. Ordenando as raízes -4< -2<\tfrac12, analisamos cada intervalo:
  • Em x<-4, por exemplo x=-5:
(x-\tfrac12)<0,\;(x+2)<0,\;(x+4)<0 \;\Longrightarrow\;\text{produto}<0.
  • Em -4<x<-2, por exemplo x=-3:
(x-\tfrac12)<0,\;(x+2)<0,\;(x+4)>0 \;\Longrightarrow\;\text{produto}>0.
  • Em -2<x<\tfrac12, por exemplo x=0:
(x-\tfrac12)<0,\;(x+2)>0,\;(x+4)>0 \;\Longrightarrow\;\text{produto}<0.
  • Em x>\tfrac12, por exemplo x=1:
(x-\tfrac12)>0,\;(x+2)>0,\;(x+4)>0 \;\Longrightarrow\;\text{produto}>0.

Passo 6

A inequação 2x^{3}+11x^{2}+10x-8>0 é satisfeita quando o produto for positivo, ou seja em
(-4,-2)\quad\text{ou}\quad\bigl(\tfrac12,\infty\bigr).

Resposta

\boxed{(-4,-2)\;\cup\;\Bigl(\tfrac12,\infty\Bigr)}.

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