Resolva as seguintes inequações em \mathbb{R} :
\left(x^{2}+2 x+1\right)(6-x) \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver no conjunto dos reais a inequação
\bigl(x^{2}+2x+1\bigr)\,(6-x)\geq 0.
O conteúdo aqui é inequação polinomial de grau 3; vamos usar fatoração e estudo de sinais.

Passo 2

Observe que o trinomio é um quadrado perfeito:
x^{2}+2x+1 = (x+1)^{2},
logo a inequação vira
(x+1)^{2}\,(6-x)\geq 0.

Passo 3

Identificamos as raízes do produto: \,(x+1)^{2}=0 x=-1 (raiz dupla) e (6-x)=0 x=6.
Como (x+1)^{2} é sempre não negativa e só se anula em x=-1, o sinal do produto é determinado por (6-x).

Passo 4

Para a inequação ser verdadeira, precisamos de
6-x\geq 0\quad\Longleftrightarrow\quad x\leq 6.
Nos pontos x=-1 e x=6 o produto vale zero, o que também satisfaz “ \geq0”.

Resposta

A solução é (-\infty,6].

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