Resolva as seguintes inequações modulares:

Passo 1

Temos a inequação |x^2 - 3x| > 2|x| + 1. O conteúdo principal é valor absoluto e inequações; para resolver, vamos quebrar o problema em casos conforme o sinal de x e de x^2 - 3x.

Passo 2

Caso 1: x >= 0. Aqui |x| = x. Além disso, x^2 - 3x = x(x - 3) muda de sinal em x = 0 e x = 3. Vamos a dois subcasos:
Subcaso 1.1: 0 <= x < 3. Nesse intervalo x(x - 3) < 0, então
|x^2 - 3x| = -(x^2 - 3x) = -x^2 + 3x
A inequação fica
-x^2 + 3x > 2x + 1

Passo 3

Reorganizando:
-x^2 + x - 1 > 0 Longrightarrow x^2 - x + 1 < 0

Passo 4

O discriminante é De, logo x^2 - x + 1 > 0 para todo x. Não há solução neste intervalo.

Passo 5

Subcaso 1.2: x >= 3. Aqui x(x - 3) >= 0, logo
|x^2 - 3x| = x^2 - 3x
A inequação vira
x^2 - 3x > 2x + 1 Longrightarrow x^2 - 5x - 1 > 0

Passo 6

Resolvendo x^2 - 5x - 1 = 0:
x = 5 pm raiz25 + 42 = 5 pm raiz292

Passo 7

Como a parábola abre para cima, x^2 - 5x - 1 > 0 para
x < 5 - raiz292ou x > 5 + raiz292

Passo 8

Mas estamos em x >= 3, e tfrac5 - raiz292 < 3, então vale
x > 5 + raiz292

Passo 9

Caso 2: x < 0. Agora |x| = -x. Como x < 0, temos x - 3 < 0 também, então x(x-3)>0 e
|x^2 - 3x| = x^2 - 3x
A inequação fica
x^2 - 3x > -2x + 1 Longrightarrow x^2 - x - 1 > 0

Passo 10

Resolva x^2 - x - 1 = 0:
x = 1 pm raiz1 + 42 = 1 pm raiz52

Passo 11

Como abre para cima, x^2 - x - 1 > 0 quando
x < 1 - raiz52ou x > 1 + raiz52

Passo 12

Mas como x < 0 < tfrac1 + raiz52, só resta
x < 1 - raiz52

Passo 13

Unindo os resultados dos dois casos, a solução da inequação é
x < 1 - raiz52cup x > 5 + raiz292

Resposta

$ (-\infty, \tfrac{1 - \sqrt{5}}{2}) \cup (\tfrac{5 + \sqrt{29}}{2}, \infty) $

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