Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região entre
y=x^2 e y=2 x
em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da região entre as curvas $ y = x^{2} $ e $ y = 2x $ em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis (conhecido como método dos discos ou método dos anéis), que é usado para calcular volumes de sólidos de rotação. Primeiro, precisamos entender onde essas duas curvas se encontram para definir os limites da integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas $ y = x^{2} $ e $ y = 2x $. Isso nos dirá os valores de $ x $ onde as duas funções são iguais.
Igualamos as duas equações:
y = x^2
Subtraindo $ 2x $ de ambos os lados:
y = 2x
Fatorando:
x
Então, as soluções são:
x^2 = 2x
Portanto, as curvas se interceptam nos pontos $ x = 0 $ e $ x = 2 $.

Passo 3

Agora que sabemos que a região de interesse está entre $ x = 0 $ e $ x = 2 $, vamos configurar a integral para encontrar o volume usando o método dos discos. Como vamos girar em torno do eixo $ x $, a fórmula geral para o volume $ V $ é:
x = 0
Aqui, $ f(x) $ é a função que está acima de $ g(x) $ no intervalo considerado. Nesse caso, $ y = 2x $ está acima de $ y = x^{2} $ entre $ x = 0 $ e $ x = 2 $. Então, substituindo na fórmula:
x = 2

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(2x)^2 = 4x^2
(x^2)^2 = x^4
Então, a integral fica:
V = pi integral0^2 ( 4x^2 - x^4 ) dx
Agora, calculamos a integral:
integral ( 4x^2 - x^4 ) dx = 43x^3 - 15x^5 + C
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar para o cálculo do volume.

Passo 5

Agora, vamos avaliar a antiderivada entre os limites de 0 a 2:
V = pi [ ( 43(2)^3 - 15(2)^5 ) - ( 43(0)^3 - 15(0)^5 ) ]
Calculando cada termo:
43(2)^3 = 43 times 8 = 323
15(2)^5 = 15 times 32 = 325
Substituindo de volta:
V = pi ( 323 - 325 ) = pi ( 16015 - 9615 ) = pi ( 6415 ) = 6415pi

Resposta

O volume do sólido gerado pela rotação da região entre $ y = x^{2} $ e $ y = 2x $ em torno do eixo $ x $ é $ \frac{64}{15}\pi $ unidades cúbicas.

Exercícios relacionados