Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região entre
em torno do eixo
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em torno do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da região entre as curvas $ y = x^{2} $ e $ y = 2x $ em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis (conhecido como método dos discos ou método dos anéis), que é usado para calcular volumes de sólidos de rotação. Primeiro, precisamos entender onde essas duas curvas se encontram para definir os limites da integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas $ y = x^{2} $ e $ y = 2x $. Isso nos dirá os valores de $ x $ onde as duas funções são iguais.
Igualamos as duas equações:
Subtraindo $ 2x $ de ambos os lados:
Fatorando:
Então, as soluções são:
Portanto, as curvas se interceptam nos pontos $ x = 0 $ e $ x = 2 $.
Passo 3
Agora que sabemos que a região de interesse está entre $ x = 0 $ e $ x = 2 $, vamos configurar a integral para encontrar o volume usando o método dos discos. Como vamos girar em torno do eixo $ x $, a fórmula geral para o volume $ V $ é:
Aqui, $ f(x) $ é a função que está acima de $ g(x) $ no intervalo considerado. Nesse caso, $ y = 2x $ está acima de $ y = x^{2} $ entre $ x = 0 $ e $ x = 2 $. Então, substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Agora, calculamos a integral:
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar para o cálculo do volume.
Passo 5
Agora, vamos avaliar a antiderivada entre os limites de 0 a 2:
Calculando cada termo:
Substituindo de volta:
Resposta
O volume do sólido gerado pela rotação da região entre $ y = x^{2} $ e $ y = 2x $ em torno do eixo $ x $ é $ \frac{64}{15}\pi $ unidades cúbicas.