Determine uma solução em série de potências do problema de valor inicial
e calcule seu raio de convergência.
Passo 1
A gente quer resolver a EDO linear com coeficientes constantes
conteúdo: séries de potências para resolver y‴=y com condições y(0)=1, y′(0)=0, y″(0)=0
vamos precisar assumir uma série y(x)=Σ a_n x^n e usar derivadas em série para achar uma recorrência nos a_n
Passo 2
Assumimos
Logo
Como y’’’=y, reindexamos y’’’ definindo m=n-3 e igualamos coeficientes de x^m:
Passo 3
Igualando termo a termo em x^m, obtemos
ou seja a recorrência
para todo m≥0.
Passo 4
Agora usamos as condições iniciais:
y(0)=a_0=1,
y’(0)=a_1=0,
y’’(0)=2a_2=0 ⇒ a_2=0.
Isso faz todos os termos a_1, a_2, a_4, a_5, a_7, a_8,… serem zero, e a_3=a_0/(3·2·1)=1/6, a_6=a_3/(6·5·4)=1/720 etc.
Passo 5
Vendo o padrão, só há coeficientes não nulos quando n=3k, e
Portanto a solução em série é
Para o raio de convergência, pelo teste da razão
para qualquer x, logo R=∞.
Resposta
y(x)=\displaystyle\sum_{k=0}\infty\frac{x{3k}}{(3k)!}, raio\ de\ convergência\ R=\infty.