Determine uma solução em série de potências do problema de valor inicial
y^prime prime prime=y, y(0)=1, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=0
e calcule seu raio de convergência.

Passo 1

A gente quer resolver a EDO linear com coeficientes constantes
conteúdo: séries de potências para resolver y‴=y com condições y(0)=1, y′(0)=0, y″(0)=0
vamos precisar assumir uma série y(x)=Σ a_n x^n e usar derivadas em série para achar uma recorrência nos a_n

Passo 2

Assumimos
y(x)=sumn=0^infty an x^n
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y'(x)=sumn=1^infty n an x^n-1, y''(x)=sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2, y'''(x)=sumn=3^infty n(n-1)(n-2)an x^n-3
Como y’’’=y, reindexamos y’’’ definindo m=n-3 e igualamos coeficientes de x^m:

Passo 3

Igualando termo a termo em x^m, obtemos
(m+3)(m+2)(m+1),am+3=am,
ou seja a recorrência
am+3=am(m+3)(m+2)(m+1)
para todo m≥0.

Passo 4

Agora usamos as condições iniciais:
y(0)=a_0=1,
y’(0)=a_1=0,
y’’(0)=2a_2=0 ⇒ a_2=0.
Isso faz todos os termos a_1, a_2, a_4, a_5, a_7, a_8,… serem zero, e a_3=a_0/(3·2·1)=1/6, a_6=a_3/(6·5·4)=1/720 etc.

Passo 5

Vendo o padrão, só há coeficientes não nulos quando n=3k, e
a3k=1(3k)!
Portanto a solução em série é
y(x)=sumk=0^inftyx^3k(3k)!
Para o raio de convergência, pelo teste da razão
limk→∞l|x^3(k+1)/(3k+3)!x^3k/(3k)!r|=limk→∞|x|^3(3k+3)(3k+2)(3k+1)=0
para qualquer x, logo R=∞.

Resposta

y(x)=\displaystyle\sum_{k=0}\infty\frac{x{3k}}{(3k)!}, raio\ de\ convergência\ R=\infty.

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