Resolva as seguintes inequações modulares:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação modular
. O conteúdo envolve inequações com valor absoluto e função racional, e vamos precisar dividir em casos segundo o sinal de
e as quebras de valor absoluto em
e
.
Passo 2
Primeiro, observamos o domínio:
. Dividimos em dois casos principais conforme o sinal de
:
No caso , temos
. Então
é não-positivo, e
é não-negativo. Logo qualquer valor não-positivo é sempre
de um valor não-negativo. Concluímos que todo
satisfaz a inequação.
No caso
Passo 3
No caso
, temos
, podemos multiplicar ambos os lados por
sem trocar o sinal:
Agora, como
, só precisamos lidar com o ponto de quebra em
:
- Se
, então e . Assim e . A inequação vira:
Desenvolvendo e reorganizando,
As raízes de
são
. Como o coeficiente de
é positivo, a expressão é
para
ou
. No nosso intervalo
só cabe
. Portanto em
a solução é
Passo 4
- Se
, então e . Logo e , e a inequação é
que leva a
O discriminante é negativo, logo
para todo
. Concluímos que todo
satisfaz a inequação.
Agora, unindo as soluções para :
Agora, unindo as soluções para
logo para
temos
. Somando com
, a solução geral é:
Resposta
x \in (-\infty,2) \cup [1+\sqrt2,\infty)