Resolva as seguintes inequações modulares:
|x-3|x-2 <=|x-1|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação modular |x-3|x-2 <= |x-1|. O conteúdo envolve inequações com valor absoluto e função racional, e vamos precisar dividir em casos segundo o sinal de x-2 e as quebras de valor absoluto em x=1 e x=3.

Passo 2

Primeiro, observamos o domínio: xneq 2. Dividimos em dois casos principais conforme o sinal de x-2:
No caso x<2, temos x-2<0. Então |x-3|x-2 é não-positivo, e |x-1| é não-negativo. Logo qualquer valor não-positivo é sempre <= de um valor não-negativo. Concluímos que todo x<2 satisfaz a inequação.

Passo 3

No caso x>2, temos x-2>0, podemos multiplicar ambos os lados por x-2 sem trocar o sinal:
|x-3|<= |x-1|,(x-2)
Agora, como x>2, só precisamos lidar com o ponto de quebra em x=3:
  • Se 2, então x-3<0 e x-1>0. Assim |x-3|=3-x e |x-1|=x-1. A inequação vira:
3 - x <= (x-1)(x-2)
Desenvolvendo e reorganizando,
3 - x <= x^2 -3x +2
0 <= x^2 -2x -1
As raízes de x^2-2x-1=0 são x=1pmraiz2. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a expressão é >=0 para x<=1-raiz2 ou x>=1+raiz2. No nosso intervalo (2,3) só cabe x>=1+raiz2approx2.414. Portanto em (2,3) a solução é
xin[1+raiz2,3)

Passo 4

  • Se x>=3, então x-3>=0 e x-1>0. Logo |x-3|=x-3 e |x-1|=x-1, e a inequação é
x-3 <= (x-1)(x-2)
que leva a
0<= x^2 -4x +5
O discriminante é negativo, logo x^2-4x+5>0 para todo x. Concluímos que todo x>=3 satisfaz a inequação.
Agora, unindo as soluções para x>2:
(2,3)cap[1+raiz2,infty) = [1+raiz2,3)e [3,infty)
logo para x>2 temos xin[1+raiz2,infty). Somando com x<2, a solução geral é:
(-infty,2)cup[1+raiz2,infty)

Resposta

x \in (-\infty,2) \cup [1+\sqrt2,\infty)

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