Resolva os seguintes itens:
Esboce a região no semiplano direito que está fora da parábola y=x^2 e entre as retas y=x+2 e y=2 x-2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta tá pedindo. Temos que desenhar uma região no semiplano direito (ou seja, onde $ x \geq 0 $) que está fora da parábola $ y = x^{2} $ e entre as duas retas $ y = x + 2 $ e $ y = 2x - 2 $. Para resolver isso, vamos precisar entender onde essas curvas se interceptam e quais áreas elas delimitam.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as retas $ y = x + 2 $ e $ y = 2x - 2 $. Para isso, igualamos as expressões de $ y $:
y = x + 2
Resolvendo para $ x $:
y = 2x - 2
Agora substituímos $ x = 4 $ em uma das equações para achar $ y $:
y
Então, as retas se encontram no ponto $ (4, 6) $.

Passo 3

Agora vamos encontrar onde cada reta intercepta a parábola $ y = x^{2} $. Primeiro, para a reta $ y = x + 2 $:
y = x^2
Rearranjando:
y = x + 2
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x + 2 = x^2
Então, as soluções são:
x^2 - x - 2 = 0
Mas como estamos no semiplano direito ($ x \geq 0 $), consideramos $ x = 2 $. Substituindo para achar $ y $:
x = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Portanto, a interseção é no ponto $ (2, 4) $.

Passo 4

Agora, para a reta $ y = 2x - 2 $:
y = 2x - 2
Rearranjando:
2x - 2 = x^2
Calculando o discriminante:
x^2 - 2x + 2 = 0
Como o discriminante é negativo, não há interseção real entre a reta $ y = 2x - 2 $ e a parábola $ y = x^{2} $ no semiplano direito.

Passo 5

Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, vamos visualizar:
  • A parábola $ y = x^{2} $ abre pra cima.
  • A reta $ y = x + 2 $ corta a parábola em $ (2, 4) $ e $ (-1, 1) $, mas focamos no $ (2, 4) $.
  • A reta $ y = 2x - 2 $ não intersecta a parábola no semiplano direito.
A região que queremos é:
  • Fora da parábola $ y = x^{2} $.
  • Entre as retas $ y = x + 2 $ e $ y = 2x - 2 $.
  • No semiplano direito ($ x \geq 0 $).

Resposta

A região no semiplano direito que está fora da parábola $ y = x^{2} $ e entre as retas $ y = x + 2 $ e $ y = 2x - 2 $ é delimitada pelo ponto de interseção das retas em $ (4, 6) $ e pela interseção da reta $ y = x + 2 $ com a parábola em $ (2, 4) $. Essa área está localizada à direita de $ x = 0 $, acima da parábola e entre as duas retas mencionadas.

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