Resolva os seguintes itens:
Esboce a região no semiplano direito que está fora da parábola
e entre as retas
e
.
Esboce a região no semiplano direito que está fora da parábola
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta tá pedindo. Temos que desenhar uma região no semiplano direito (ou seja, onde $ x \geq 0 $) que está fora da parábola $ y = x^{2} $ e entre as duas retas $ y = x + 2 $ e $ y = 2x - 2 $. Para resolver isso, vamos precisar entender onde essas curvas se interceptam e quais áreas elas delimitam.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as retas $ y = x + 2 $ e $ y = 2x - 2 $. Para isso, igualamos as expressões de $ y $:
Resolvendo para $ x $:
Agora substituímos $ x = 4 $ em uma das equações para achar $ y $:
Então, as retas se encontram no ponto $ (4, 6) $.
Passo 3
Agora vamos encontrar onde cada reta intercepta a parábola $ y = x^{2} $. Primeiro, para a reta $ y = x + 2 $:
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Mas como estamos no semiplano direito ($ x \geq 0 $), consideramos $ x = 2 $. Substituindo para achar $ y $:
Portanto, a interseção é no ponto $ (2, 4) $.
Passo 4
Agora, para a reta $ y = 2x - 2 $:
Rearranjando:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, não há interseção real entre a reta $ y = 2x - 2 $ e a parábola $ y = x^{2} $ no semiplano direito.
Passo 5
Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, vamos visualizar:
- A parábola $ y = x^{2} $ abre pra cima.
- A reta $ y = x + 2 $ corta a parábola em $ (2, 4) $ e $ (-1, 1) $, mas focamos no $ (2, 4) $.
- A reta $ y = 2x - 2 $ não intersecta a parábola no semiplano direito.
A região que queremos é:
- Fora da parábola $ y = x^{2} $.
- Entre as retas $ y = x + 2 $ e $ y = 2x - 2 $.
- No semiplano direito ($ x \geq 0 $).
Resposta
A região no semiplano direito que está fora da parábola $ y = x^{2} $ e entre as retas $ y = x + 2 $ e $ y = 2x - 2 $ é delimitada pelo ponto de interseção das retas em $ (4, 6) $ e pela interseção da reta $ y = x + 2 $ com a parábola em $ (2, 4) $. Essa área está localizada à direita de $ x = 0 $, acima da parábola e entre as duas retas mencionadas.