Resolva as seguintes inequações:
|x^2-4| >= 2|x^2-1|

Passo 1

Temos a inequação |x^2-4| >= 2|x^2-1|. O conteúdo aqui é inequação com valor absoluto, e vamos precisar estudar o sinal de x^2-4 e de x^2-1 para eliminar os módulos.

Passo 2

Os pontos em que as expressões dentro dos módulos se anulam são x=pm2 (para x^2-4=0) e x=pm1 (para x^2-1=0). Assim, dividimos a reta em cinco intervalos:

Passo 3

Intervalo ( -infty,-2): aqui x^2>4, então x^2-4>=0 e x^2-1>0. A inequação vira x^2-4>= 2(x^2-1), ou seja,
x^2-4>= 2x^2-2
que leva a
x^2<= -2,
não tendo solução real. Portanto não há solução neste intervalo.

Passo 4

Intervalo (-2,-1): aqui 1, logo x^2-4<0 e x^2-1>0. A inequação fica
4 - x^2>= 2(x^2-1)
ou seja
4 - x^2>= 2x^2-2implies 6>= 3x^2implies x^2<= 2 Interseccionando com (-2,-1) obtemos
xin [-raiz2,-1)

Passo 5

Intervalo (-1,1): aqui x^2<1, então x^2-4<0 e x^2-1<0. A inequação vira
4 - x^2>= 2(1 - x^2)
que se reduz a
2 + x^2>= 0, sempre verdadeira. Logo todo (-1,1) pertence à solução.

Passo 6

Intervalo (1,2): semelhante ao caso (-2,-1), temos x^2-4<0 e x^2-1>0, e a mesma conta leva a x^2<= 2. Intersecionando com (1,2)
(1,raiz2],

Passo 7

Intervalo (2,infty): aqui x^2>4, ambos positivos, e a inequação leva a x^2<= -2, sem solução.

Passo 8

Por fim, testamos os pontos isolados:
x=\pm2: a desigualdade falha (0\ngeq6)
x=\pm1: dá 3\ge0, ok.
Unindo tudo, o conjunto solução é o intervalo contínuo de -raiz2 até +raiz2, incluindo as extremidades.

Resposta

xin[-raiz2,raiz2]

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