Resolva, em R, as seguintes inequações, sabendo que 2 é solução das quatro propostas.
\frac{(x-1) \cdot\left(x^{2}+2 x+1\right)}{x^{2}+4 x+4}<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a inequação
\frac{(x-1)\,\bigl(x^{2}+2x+1\bigr)}{x^{2}+4x+4}<0.
O conteúdo é inequação racional e vamos usar análise de sinais, encontrando zeros do numerador e do denominador e estudando o sinal de cada fator.

Passo 2

Primeiro fatoramos numerador e denominador:
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}, \qquad x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}.
Logo a expressão vira
\frac{(x-1)\,(x+1)^{2}}{(x+2)^{2}}<0.

Passo 3

Identificamos os pontos notáveis:
– Zeros do numerador: x=1 (simples) e x=-1 (multiplicidade 2).
– Zeros do denominador: x=-2 (multiplicidade 2), que são pontos de descontinuidade.
Nas raízes do numerador a expressão vale zero; em x=-2 a expressão não está definida.

Passo 4

Os quadrados (x+1)^{2} e (x+2)^{2} são sempre positivos para x\neq -1,-2.
Logo o único fator que altera o sinal é (x-1).
– Se x-1<0, ou seja x<1, a fração é negativa.
– Se x-1>0, ou seja x>1, a fração é positiva.

Passo 5

Como queremos a fração negativa e excluímos os pontos em que ela é zero ou indefinida x=-1,1,-2, o conjunto solução é
(-\infty,1)\setminus\{-2,-1\} = (-\infty,-2)\,\cup\,(-2,-1)\,\cup\,(-1,1).

Resposta

(-\infty,-2)\,\cup\,(-2,-1)\,\cup\,(-1,1).

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