Resolva, em R, as seguintes inequações, sabendo que 2 é solução das quatro propostas.
\left(-x^{2}+1\right)(2 x+3) \geq 0

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos resolver em \mathbb{R} a inequação
(-x^{2}+1)\,(2x+3)\ge 0.
O conteúdo principal aqui é análise de sinais de um produto de duas expressões. Vamos encontrar os zeros de cada fator, montar o quadro de sinais e, a partir dele, determinar onde o produto é não negativo.

Passo 2

Encontrar os pontos em que cada fator se anula:
- Para -x^{2}+1=0, temos
x^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=-1\quad\text{ou}\quad x=1.
- Para 2x+3=0, temos
2x=-3 \quad\Longrightarrow\quad x=-\tfrac32.
Esses valores -\infty, -\tfrac32, -1, 1, +\infty são os pontos críticos que dividem a reta em intervalos onde o sinal de cada fator é constante.

Passo 3

Analisar o sinal de cada fator em cada intervalo:
  1. Fator -x^{2}+1:
  • É positivo se -1<x<1,
  • zero em x=-1 e x=1,
  • negativo para x<-1 ou x>1.
  1. Fator 2x+3:
  • É positivo se x>-\tfrac32,
  • zero em x=-\tfrac32,
  • negativo se x<-\tfrac32.
Agora combinamos para o produto:
  • Produto >=0 quando ambos os fatores têm o mesmo sinal (ou algum é zero).
  • Caso “ambos positivos”:
    -x^{2}+1>0 e 2x+3>0 -1<x<1 e x>-\tfrac32 -1<x<1.
  • Caso “ambos negativos”:
    -x^{2}+1<0 e 2x+3<0 \{\,x< -1\\ \cup\\ x>1\,\} e x<-\tfrac32 x<-\tfrac32.
  • Zeros (cada fator zero) também satisfazem “ \ge0”: em x=-\tfrac32, x=-1 e x=1.

Passo 4

Reunindo tudo, o produto é não negativo em
(-\infty,\,-\tfrac32] \;\cup\; [-1,\,1].

Resposta

(-\infty,\,-\tfrac32]\;\cup\;[-1,\,1].

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