Determine o domínio e o conjunto imagem das funções a seguir:
f(x)=2 \operatorname{arcsen}(2 x)

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=2\operatorname{arcsen}(2x)\, e pede duas coisas:
  • determinar o domínio de f;
  • determinar o conjunto imagem (valores que f atinge).
Informações úteis fornecidas ou conhecidas que serão usadas (sem resolver ainda):
  • a função \operatorname{arcsen}(t) está definida apenas quando t pertence ao intervalo [-1,1];
  • o valor de \operatorname{arcsen}(t) (a saída) varia no intervalo [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}].

Passo 2

Entendendo o que restringe o domínio: dentro de \operatorname{arcsen}(\cdot) só podem entrar valores entre -1 e 1. No nosso caso o argumento é 2x. Portanto a condição para x ser válida é
-1 \le 2x \le 1.
Essa desigualdade é a única restrição ao domínio, porque multiplicar por 2 e depois aplicar \operatorname{arcsen} só exige que o argumento esteja em [-1,1].

Passo 3

Resolver a desigualdade para x. Dividindo toda a desigualdade por 2 (número positivo, então a desigualdade mantém o sentido):
-\tfrac{1}{2} \le x \le \tfrac{1}{2}.
Assim, o conjunto de todos os x que tornam \operatorname{arcsen}(2x) bem definido é o intervalo fechado [-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}].

Passo 4

Agora vamos encontrar a imagem. Para x no domínio descoberto, o argumento 2x percorre todo o intervalo [-1,1] quando x percorre [-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}]. Sabendo isso e usando a família de valores de \operatorname{arcsen}:
\operatorname{arcsen}(2x)\in\bigl[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr]\quad\text{para }x\in\bigl[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\bigr].
Multiplicando tudo por 2 (operações lineares preservam intervalos):
2\operatorname{arcsen}(2x)\in\bigl[-\pi,\pi\bigr].
Logo a imagem candidata é o intervalo [-\pi,\pi].

Passo 5

Para garantir que os extremos -\pi e \pi são realmente atingidos, verificamos o valor de f nas extremidades do domínio:
f\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=2\operatorname{arcsen}\bigl(2\cdot(-\tfrac{1}{2})\bigr)=2\operatorname{arcsen}(-1)=2\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-\pi,
f\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=2\operatorname{arcsen}\bigl(2\cdot\tfrac{1}{2}\bigr)=2\operatorname{arcsen}(1)=2\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\pi.
Como \operatorname{arcsen}(t) é contínua e estritamente crescente em [-1,1], a composição x\mapsto 2\operatorname{arcsen}(2x) é contínua em [-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}] e atinge todos os valores entre -\pi e \pi. Assim a imagem é exatamente [-\pi,\pi].

Passo 6

Dica rápida para prova: ao ver \operatorname{arcsen}(ax) sempre imponha -1\le ax\le1 para achar o domínio; para a imagem multiplique o intervalo de valores da \operatorname{arcsen}, que é [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}], pelo fator exterior que houver (aqui 2). Verifique os extremos substituindo os pontos de fronteira do domínio.

Resposta

Domínio: \displaystyle [-\tfrac{1}{2},\,\tfrac{1}{2}]
Imagem: \displaystyle [-\pi,\,\pi]

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