Determine o domínio e o conjunto imagem das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- determinar o domínio de
; - determinar o conjunto imagem (valores que
atinge).
Informações úteis fornecidas ou conhecidas que serão usadas (sem resolver ainda):
- a função
está definida apenas quando pertence ao intervalo ; - o valor de
(a saída) varia no intervalo .
Passo 2
Entendendo o que restringe o domínio: dentro de
só podem entrar valores entre
e
. No nosso caso o argumento é
. Portanto a condição para
ser válida é
Essa desigualdade é a única restrição ao domínio, porque multiplicar por
e depois aplicar
só exige que o argumento esteja em
.
Passo 3
Resolver a desigualdade para
. Dividindo toda a desigualdade por
(número positivo, então a desigualdade mantém o sentido):
Assim, o conjunto de todos os
que tornam
bem definido é o intervalo fechado
.
Passo 4
Agora vamos encontrar a imagem. Para
no domínio descoberto, o argumento
percorre todo o intervalo
quando
percorre
. Sabendo isso e usando a família de valores de
:
Multiplicando tudo por
(operações lineares preservam intervalos):
Logo a imagem candidata é o intervalo
.
Passo 5
Para garantir que os extremos
e
são realmente atingidos, verificamos o valor de
nas extremidades do domínio:
Como
é contínua e estritamente crescente em
, a composição
é contínua em
e atinge todos os valores entre
e
. Assim a imagem é exatamente
.
Passo 6
Dica rápida para prova: ao ver
sempre imponha
para achar o domínio; para a imagem multiplique o intervalo de valores da
, que é
, pelo fator exterior que houver (aqui
). Verifique os extremos substituindo os pontos de fronteira do domínio.
Resposta
Domínio:
Imagem: