4-Uma esfera de massa 50 gramas encontra-se presa por um fio ideal de comprimento 20 cm à uma haste rígida que pode girar em torno do eixo vertical. Determine o valor da velocidade da bolinha na situação em que o sistema gira mantendo o fio com um ângulo fixo de em relação à haste. Adote . Dê sua resposta com apenas uma casa após a vírgula.
Passo 1
O enunciado descreve um pêndulo cônico formado por uma esfera de massa g presa por um fio ideal de comprimento cm a uma haste que gira em torno do eixo vertical. O fio faz um ângulo fixo de com a vertical. Queremos determinar a velocidade da esfera em regime permanente, sabendo que m/s². Para resolver, faremos o diagrama de forças e escreveremos o equilíbrio vertical e a força centrípeta horizontal.
Passo 2
No diagrama de forças atuam o peso para baixo e a tensão ao longo do fio, que forma ângulo com a vertical. Se chamarmos de o raio da trajetória horizontal da esfera, temos
Escrevemos o equilíbrio vertical (componentes no eixo ) e a soma das forças na direção horizontal para a aceleração centrípeta:
Passo 3
Da primeira equação isolamos a tensão:
T = mgcostheta
Passo 4
Substituindo T e R na segunda equação:
mgcostheta,sintheta = m v^2Lsintheta Longrightarrow v^2 = g,L,sin^2thetacostheta = g,L,sintheta,tantheta
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos: sin30^circ=tfrac12, tan30^circ=tfrac1raiz3, L=0,20 m e g=9,8 m/s².