4-Uma esfera de massa 50 gramas encontra-se presa por um fio ideal de comprimento 20 cm à uma haste rígida que pode girar em torno do eixo vertical. Determine o valor da velocidade da bolinha na situação em que o sistema gira mantendo o fio com um ângulo fixo de 30 ^circ em relação à haste. Adote g=9,8 m / s^2. Dê sua resposta com apenas uma casa após a vírgula.
g=9,8 m / s^2

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo cônico formado por uma esfera de massa m=50 g presa por um fio ideal de comprimento L=20 cm a uma haste que gira em torno do eixo vertical. O fio faz um ângulo fixo de theta=30^circ com a vertical. Queremos determinar a velocidade v da esfera em regime permanente, sabendo que g=9,8 m/s². Para resolver, faremos o diagrama de forças e escreveremos o equilíbrio vertical e a força centrípeta horizontal.

Passo 2

No diagrama de forças atuam o peso vec P para baixo e a tensão vec T ao longo do fio, que forma ângulo theta com a vertical. Se chamarmos de R o raio da trajetória horizontal da esfera, temos
R = Lsintheta
Escrevemos o equilíbrio vertical (componentes no eixo y) e a soma das forças na direção horizontal para a aceleração centrípeta:
Tcostheta = mg, Tsintheta = m v^2R

Passo 3

Da primeira equação isolamos a tensão:
T = mgcostheta

Passo 4

Substituindo T e R na segunda equação:
mgcostheta,sintheta = m v^2Lsintheta Longrightarrow v^2 = g,L,sin^2thetacostheta = g,L,sintheta,tantheta

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos:
sin30^circ=tfrac12, tan30^circ=tfrac1raiz3, L=0,20 m e g=9,8 m/s².
v^2 = 9,8cdot0,20cdotl(tfrac12r)cdotl(tfrac1raiz3r) = 1,962raiz3approx0,566,
v = raiz0,566approx0,752 m/s
Arredondando para uma casa decimal,
v approx 0,8 m/s

Resposta

0,8 m/s

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