Resolva as seguintes inequações:
(1-2 x)(3+4 x)4-x <= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
(1-2x)(3+4x)4-x <= 0
É uma inequação racional, então vamos usar análise de sinais: identificamos zeros do numerador e raiz do denominador, particionamos a reta e estudamos o sinal da fração em cada parte.

Passo 2

Encontramos os pontos críticos fazendo cada fator zero:
1 - 2x = 0 implies x = 12,
3 + 4x = 0 implies x = -34,
4 - x = 0 implies x = 4
Esses valores dividem a reta real em quatro intervalos.

Passo 3

Determinamos o sinal de cada fator em função de x:
Para o fator 1-2x: ele é positivo quando x < 12 e negativo quando x > 12.
Para o fator 3+4x: ele é negativo quando x < -34 e positivo quando x > -34.
Para o denominador 4-x: ele é positivo quando x < 4 e negativo quando x > 4.

Passo 4

Em cada intervalo indicado pelos pontos críticos, os sinais dos fatores (1-2x), (3+4x) e (4-x) são, respectivamente:
(-infty,-tfrac34): (+),(-),(+) implies fração negativa; çã
(-tfrac34,tfrac12): (+),(+),(+) implies fração positiva; çã
(tfrac12,4): (-),(+),(+) implies fração negativa; çã
(4,infty): (-),(+),(-) implies fração positiva çã
Como queremos <=0, incluímos os trechos onde a fração é negativa ou zero, ou seja, os dois primeiros fatores nulos (zeros do numerador) entram, e excluímos x=4 (denominador zero).

Passo 5

Unindo os intervalos onde vale a inequação, obtemos
(-infty,-34] cup [12,4)

Resposta

(-infty, -34] cup [12, 4)

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