Resolva as seguintes inequações:
|x+12 x-1| <= 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
|x+12x-1|<= 2
O tema é inequações com valor absoluto e função racional. Vamos precisar determinar o domínio da expressão, usar a equivalência
l|Ar|<= 2iff A^2<= 4,
expandir e simplificar até virar uma inequação do segundo grau, e depois intersectar o resultado com o domínio.

Passo 2

Identificamos o domínio exigido por x+12x-1: o denominador não pode ser zero, ou seja
2x-1neq 0 Longrightarrow xneq tfrac12

Passo 3

Como l|tfracx+12x-1r|<= 2 e o quadrado é sempre não negativo, elevamos ao quadrado dos dois lados:
(x+12x-1)^2<= 2^2 Long<=ftrightarrow (x+1)^2(2x-1)^2<= 4

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por (2x-1)^2>0 (nos asseguramos que seja estritamente positivo pois xneq tfrac12) e obtemos
(x+1)^2<= 4,(2x-1)^2
Expandindo,
x^2+2x+1;<=;4l(4x^2-4x+1r) ;=;16x^2-16x+4
Passando tudo para um lado:
0<= 16x^2-16x+4 - (x^2+2x+1) =15x^2-18x+3
Dividindo por 3, fica
5x^2-6x+1>= 0

Passo 5

Resolvemos a equação associada 5x^2-6x+1=0. O discriminante é
De<a=(-6)^2-4cdot5cdot1=36-20=16,
logo as raízes são
x=6pmraiz162cdot5 =6pm410 ;Longrightarrow; x=15ou x=1
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e a inequação 5x^2-6x+1>=0 satisfaz-se quando
x<= 15 ou x>= 1

Passo 6

Interseccionando com o domínio xneq tfrac12, note que tfrac12=0,5 está fora dos conjuntos obtidos. Portanto a solução final é
l(-infty,tfrac15r];cup;[1,infty)

Resposta

boxed(-infty,tfrac15];cup;[1,infty)

Exercícios relacionados