Resolva as seguintes inequações:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas:
- A incógnita é
(número real). - A expressão envolve o produto de
por . - O objetivo é achar todos os valores de
que tornam a expressão menor ou igual a zero.
Passo 2
Propriedade importante da função exponencial que vamos usar: para todo número real
vale
Isto pode ser lembrado porque a série de Taylor de
tem termos positivos, ou simplesmente porque a exponencial nunca zera nem fica negativa. Então não existe
com
ou
.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso caso: o expoente é
. Como
para todo
, temos em particular
ou, mais fraco mas suficiente,
Passo 4
Agora olhe a inequação original:
Como
, podemos dividir os dois lados da inequação por esse fator sem mudar o sinal da desigualdade (regra: dividir por número positivo conserva a direção da desigualdade). Fazendo isso obtemos
Passo 5
Interpretação: a desigualdade ficou simplesmente
. Isso inclui
(pois então
) e todos os
negativos (nesse caso o produto é negativo). Valores positivos de
não satisfazem, pois multiplicando por
dá número positivo.
Passo 6
Verificação rápida com exemplos numéricos:
-
: → satisfaz. -
: → satisfaz (igualdade). -
: → não satisfaz.
Passo 7
Dica prática para a prova: sempre que uma inequação for do tipo
, pode-se dividir pelo coeficiente positivo e resolver apenas a outra expressão. No caso,
é sempre positiva, então o problema reduz-se a olhar apenas o sinal de
.