Resolva as seguintes inequações:
x \exp \left(x^{2}\right) \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x\exp\!\left(x^{2}\right)\leq 0.
Informações dadas:
  • A incógnita é x (número real).
  • A expressão envolve o produto de x por \exp\!\left(x^{2}\right).
  • O objetivo é achar todos os valores de x que tornam a expressão menor ou igual a zero.

Passo 2

Propriedade importante da função exponencial que vamos usar: para todo número real t vale
\exp(t)>0.
Isto pode ser lembrado porque a série de Taylor de \exp tem termos positivos, ou simplesmente porque a exponencial nunca zera nem fica negativa. Então não existe t com \exp(t)=0 ou \exp(t)<0.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso: o expoente é x^{2}. Como x^{2}\geq 0 para todo x, temos em particular
\exp\!\left(x^{2}\right)\geq \exp(0)=1,
ou, mais fraco mas suficiente,
\exp\!\left(x^{2}\right)>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Agora olhe a inequação original:
x\exp\!\left(x^{2}\right)\leq 0.
Como \exp\!\left(x^{2}\right)>0, podemos dividir os dois lados da inequação por esse fator sem mudar o sinal da desigualdade (regra: dividir por número positivo conserva a direção da desigualdade). Fazendo isso obtemos
x \leq 0.

Passo 5

Interpretação: a desigualdade ficou simplesmente x\leq 0. Isso inclui x=0 (pois então x\exp(x^2)=0) e todos os x negativos (nesse caso o produto é negativo). Valores positivos de x não satisfazem, pois multiplicando por \exp(x^2)>0 dá número positivo.

Passo 6

Verificação rápida com exemplos numéricos:
  • x=-1: -1\cdot\exp(1) <0 → satisfaz.
  • x=0: 0\cdot\exp(0)=0 → satisfaz (igualdade).
  • x=1: 1\cdot\exp(1)>0 → não satisfaz.

Passo 7

Dica prática para a prova: sempre que uma inequação for do tipo \text{(coeficiente positivo)}\times(\text{outra expressão}) \le 0ã, pode-se dividir pelo coeficiente positivo e resolver apenas a outra expressão. No caso, \exp(x^2) é sempre positiva, então o problema reduz-se a olhar apenas o sinal de x.

Resposta

\;x\leq 0

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