Resolva as seguintes inequações:
x\left(x^{2}+1\right)<0

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação x\left(x^{2}+1\right)<0.
Informações dadas: a expressão é um produto de dois fatores, sendo o primeiro o número x e o segundo a expressão x^{2}+1. O objetivo é encontrar todos os valores reais de x que tornam esse produto estritamente negativo.

Passo 2

Regra básica sobre sinais (lembrando devagar, sem pressa): para dois números reais a e b vale
a\cdot b<0
se, e somente se, um dos fatores for positivo e o outro for negativo. Em palavras: produto negativo significa sinais opostos. Exemplos rápidos para fixar: (-2)\cdot 3<0 pois negativo vezes positivo dá negativo; 2\cdot(-5)<0 também.

Passo 3

Analisar o segundo fator x^{2}+1. Note que para todo x\in\mathbb{R} tem-se x^{2}\ge 0. Somando 1 fica
x^{2}+1\ge 0+1=1.
Logo x^{2}+1>0 para todo x\in\mathbb{R} (nunca zera nem fica negativo). Isto é um ponto crucial: o segundo fator é sempre positivo.

Passo 4

Como x^{2}+1>0 para todo x, o sinal do produto x\left(x^{2}+1\right) é exatamente o sinal de x. Formalmente, podemos dividir ambos os lados da inequação por x^{2}+1 sem trocar o sentido (porque estamos dividindo por uma quantidade sempre positiva), obtendo equivalência:
x\left(x^{2}+1\right)<0 \quad\Longleftrightarrow\quad x<\frac{0}{x^{2}+1}=0.

Passo 5

Verificação das fronteiras: se x=0 então x(x^{2}+1)=0, que não satisfaz a desigualdade estrita <0. Para x<0 o produto é negativo (negativo vezes positivo), e para x>0 o produto é positivo (positivo vezes positivo). Portanto a solução é exatamente todos os x estritamente negativos.

Resposta

(-\infty,0)

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