Resolva as seguintes inequações:
Passo 1
O enunciado pede resolver a inequação
.
Informações dadas: a expressão é um produto de dois fatores, sendo o primeiro o número e o segundo a expressão
. O objetivo é encontrar todos os valores reais de
que tornam esse produto estritamente negativo.
Informações dadas: a expressão é um produto de dois fatores, sendo o primeiro o número
Passo 2
Regra básica sobre sinais (lembrando devagar, sem pressa): para dois números reais
e
vale
se, e somente se, um dos fatores for positivo e o outro for negativo. Em palavras: produto negativo significa sinais opostos. Exemplos rápidos para fixar:
pois negativo vezes positivo dá negativo;
também.
Passo 3
Analisar o segundo fator
. Note que para todo
tem-se
. Somando
fica
Logo
para todo
(nunca zera nem fica negativo). Isto é um ponto crucial: o segundo fator é sempre positivo.
Passo 4
Como
para todo
, o sinal do produto
é exatamente o sinal de
. Formalmente, podemos dividir ambos os lados da inequação por
sem trocar o sentido (porque estamos dividindo por uma quantidade sempre positiva), obtendo equivalência:
Passo 5
Verificação das fronteiras: se
então
, que não satisfaz a desigualdade estrita
. Para
o produto é negativo (negativo vezes positivo), e para
o produto é positivo (positivo vezes positivo). Portanto a solução é exatamente todos os
estritamente negativos.