Resolva as seguintes inequações:
(5 x+4)^4(7 x-2)^3 >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
(5x+4)^4,(7x-2)^3>= 0
Aqui usamos dois conceitos principais:
1. O sinal de uma potência de grau par é sempre não-negativo, e só zera no ponto em que a base é zero.
2. O sinal de uma potência de grau ímpar é o mesmo da sua base.

Passo 2

Identificamos os pontos em que cada fator se anula:
5x+4=0implies x=-tfrac45, 7x-2=0implies x=tfrac27
Esses são os pontos críticos em que o produto pode mudar de sinal ou valer zero.

Passo 3

Analisamos o sinal de cada fator em cada região:
  • (5x+4)^4>=0 para todo x, e zera apenas em x=-tfrac45.
  • (7x-2)^3 tem o mesmo sinal de 7x-2:
    • negativo para x<tfrac27,
    • zero em x=tfrac27,
    • positivo para x>tfrac27.
Portanto, para xneq -tfrac45 o produto tem sinal de (7x-2)^3, e é >=0 exatamente quando x>= tfrac27. Em x=-tfrac45 o fator (5x+4)^4 zera e o produto vale 0, então também satisfaz a inequação.

Passo 4

Juntando tudo, a solução é
x=-tfrac45 ou x>= tfrac27

Resposta

-tfrac45cup[tfrac27,infty)

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