Resolva as seguintes integrais abaixo, utilizando integração por substituição:
\int_{0}^{1} 4 x e^{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} 4x e^{x^{2}}\,dx,
usando integração por substituição. As informações fornecidas são: os limites de integração são 0 e 1 e o integrando é 4x e^{x^{2}}. O objetivo é obter um número (o valor da integral) usando substituição adequada.

Passo 2

O que é a técnica de substituição (explicação didática): suponha que temos uma integral em x da forma \int f(g(x))g'(x)\,dx. A ideia é definir uma nova variável u=g(x). Então du=g'(x)\,dx. Isso transforma a integral em \int f(u)\,du, que muitas vezes é mais simples de resolver. Para integrais definidas, além de trocar dx por du, devemos também trocar os limites: se x=a então u=g(a); se x=b então u=g(b).

Passo 3

Escolhemos a substituição que simplifica a expressão dentro do expoente. Seja
u = x^{2}.
Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du = 2x\,dx.
Isto significa que
x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 4

Reescrevemos o integrando usando x\,dx e u. Observe que 4x e^{x^{2}}\,dx = 4\bigl(x\,dx\bigr)e^{x^{2}}. Substituindo x\,dx=\dfrac{du}{2} e x^{2}=u obtemos
4\bigl(x\,dx\bigr)e^{x^{2}} = 4\left(\frac{du}{2}\right)e^{u} = 2 e^{u}\,du.

Passo 5

Trocamos também os limites de integração. Para x=0 temos u=0^{2}=0. Para x=1 temos u=1^{2}=1. Assim a integral definida fica
\int_{0}^{1} 4x e^{x^{2}}\,dx = \int_{0}^{1} 2 e^{u}\,du.

Passo 6

Agora integramos em u. A integral de e^{u} é e^{u}, e a constante 2 sai da integral:
\int_{0}^{1} 2 e^{u}\,du = 2\left[ e^{u} \right]_{0}^{1} = 2\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr).
Como e^{0}=1, isso dá
2(e-1).

Passo 7

Cheque rápido (intuição): como \dfrac{d}{dx}e^{x^{2}}=2x e^{x^{2}}, vemos que 4x e^{x^{2}}=2\cdot(2x e^{x^{2}})=2\cdot\frac{d}{dx}e^{x^{2}}. Assim a primitiva é 2e^{x^{2}} e avaliando de 0 a 1 obtemos o mesmo resultado 2(e-1). Bom trabalho — essa verificação confirma que a substituição foi feita certo!

Resposta

2(e-1)

Exercícios relacionados