Resolva as seguintes integrais abaixo, utilizando integração por substituição:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
usando integração por substituição. As informações fornecidas são: os limites de integração são
e
e o integrando é
. O objetivo é obter um número (o valor da integral) usando substituição adequada.
Passo 2
O que é a técnica de substituição (explicação didática): suponha que temos uma integral em
da forma
. A ideia é definir uma nova variável
. Então
. Isso transforma a integral em
, que muitas vezes é mais simples de resolver. Para integrais definidas, além de trocar
por
, devemos também trocar os limites: se
então
; se
então
.
Passo 3
Escolhemos a substituição que simplifica a expressão dentro do expoente. Seja
Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Isto significa que
Passo 4
Reescrevemos o integrando usando
e
. Observe que
. Substituindo
e
obtemos
Passo 5
Trocamos também os limites de integração. Para
temos
. Para
temos
. Assim a integral definida fica
Passo 6
Agora integramos em
. A integral de
é
, e a constante
sai da integral:
Como
, isso dá
Passo 7
Cheque rápido (intuição): como
, vemos que
. Assim a primitiva é
e avaliando de
a
obtemos o mesmo resultado
. Bom trabalho — essa verificação confirma que a substituição foi feita certo!