Resolva as seguintes integrais abaixo, utilizando integração por substituição:
\int_{0}^{1}\left(3 t^{2}+1\right)\left(t^{3}+t\right)^{9} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da integral definida
\int_{0}^{1}\left(3 t^{2}+1\right)\left(t^{3}+t\right)^{9} \, d t.
Informações dadas:
  • A integral é definida no intervalo t\in[0,1].
  • O integrando é o produto de \left(3 t^{2}+1\right) por \left(t^{3}+t\right)^{9}.
  • Devemos obter um número (o valor numérico da integral) como resposta.

Passo 2

Observação estrutural (muito importante para decidir o que fazer): note que a expressão \left(3 t^{2}+1\right) é exatamente a derivada de \left(t^{3}+t\right). Vamos explicitar isso e usar uma mudança de variável. Defina a nova variável
u = t^{3}+t.
Agora calcule a diferencial du. Diferenciando em relação a t temos
du = \frac{d}{dt}\bigl(t^{3}+t\bigr)\,dt = \bigl(3t^{2}+1\bigr)\,dt.
Aqui cada símbolo significa:
  • u é a nova variável que depende de t;
  • du é a diferencial correspondente a u;
  • dt é a diferencial de t;
  • a igualdade significa que \bigl(3t^{2}+1\bigr)\,dt pode ser substituída por du.

Passo 3

Como temos uma integral definida, em vez de voltar a t no final, é mais simples trocar também os limites de integração para a nova variável u. Calcule os limites:
\text{quando } t=0,\quad u(0)=0^{3}+0=0,
\text{quando } t=1,\quad u(1)=1^{3}+1=2.
Portanto os limites em u são de 0 a 2.
Agora substituímos na integral original: o fator \bigl(3t^{2}+1\bigr)\,dt vira du e \bigl(t^{3}+t\bigr)^{9} vira u^{9}. Assim a integral passa a ser
\int_{0}^{1}\bigl(3t^{2}+1\bigr)\bigl(t^{3}+t\bigr)^{9}\,dt = \int_{0}^{2} u^{9}\,du.
Explicação do porquê: a substituição transforma a composição \bigl(t^{3}+t\bigr)^{9} em u^{9}, e o fator que aparecia multiplicando dt é exatamente du, então a forma diferencial fica correta sem necessidade de manipulações adicionais.

Passo 4

Agora integramos a função u^{9}. Usamos a regra do poder para integrais indefinidas:
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} \quad \text{para } n\neq -1.
Aqui n=9, então
\int u^{9}\,du = \frac{u^{10}}{10}.
Como é integral definida, avaliamos entre u=0 e u=2:
\left.\frac{u^{10}}{10}\right|_{0}^{2} = \frac{2^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}.

Passo 5

Calcule 2^{10}. Sabemos que
2^{10} = 1024.
Portanto
\frac{2^{10}}{10} = \frac{1024}{10}.
Simplificando a fração por 2,
\frac{1024}{10} = \frac{512}{5}.
Assim o valor numérico da integral é \dfrac{512}{5}.

Resposta

\dfrac{512}{5}

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