Resolva as seguintes integrais abaixo, utilizando integração por substituição: \int_{0}^{1}\left(3 t^{2}+1\right)\left(t^{3}+t\right)^{9} d t
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor da integral definida
\int_{0}^{1}\left(3 t^{2}+1\right)\left(t^{3}+t\right)^{9} \, d t.
Informações dadas:
A integral é definida no intervalo t\in[0,1].
O integrando é o produto de \left(3 t^{2}+1\right) por \left(t^{3}+t\right)^{9}.
Devemos obter um número (o valor numérico da integral) como resposta.
Passo 2
Observação estrutural (muito importante para decidir o que fazer): note que a expressão \left(3 t^{2}+1\right) é exatamente a derivada de \left(t^{3}+t\right). Vamos explicitar isso e usar uma mudança de variável. Defina a nova variável
u = t^{3}+t.
Agora calcule a diferencial du. Diferenciando em relação a t temos
du = \frac{d}{dt}\bigl(t^{3}+t\bigr)\,dt = \bigl(3t^{2}+1\bigr)\,dt.
Aqui cada símbolo significa:
u é a nova variável que depende de t;
du é a diferencial correspondente a u;
dt é a diferencial de t;
a igualdade significa que \bigl(3t^{2}+1\bigr)\,dt pode ser substituída por du.
Passo 3
Como temos uma integral definida, em vez de voltar a t no final, é mais simples trocar também os limites de integração para a nova variável u. Calcule os limites:
\text{quando } t=0,\quad u(0)=0^{3}+0=0,
\text{quando } t=1,\quad u(1)=1^{3}+1=2.
Portanto os limites em u são de 0 a 2.
Agora substituímos na integral original: o fator \bigl(3t^{2}+1\bigr)\,dt vira du e \bigl(t^{3}+t\bigr)^{9} vira u^{9}. Assim a integral passa a ser
Explicação do porquê: a substituição transforma a composição \bigl(t^{3}+t\bigr)^{9} em u^{9}, e o fator que aparecia multiplicando dt é exatamente du, então a forma diferencial fica correta sem necessidade de manipulações adicionais.
Passo 4
Agora integramos a função u^{9}. Usamos a regra do poder para integrais indefinidas: