Resolva as seguintes integrais:
c) integral0^L sin ^2(x) d x

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular a integral
integral0^L sin^2(x),dx
Conteúdo: cálculo de integrais de funções trigonométricas.
O que vamos precisar:
  • A identidade trigonométrica sin^2(x)=tfrac1-cos(2x)2.
  • Saber integrar constantes e cos(2x).

Passo 2

Primeiro, a gente usa a identidade
sin^2(x);=;1-cos(2x)2
Isso serve pra transformar a integral de sin^2(x) numa coisa mais fácil de integrar (porque integrar cos(2x) a gente já sabe).

Passo 3

Substituindo na integral:
integral0^Lsin^2(x),dx =integral0^L1-cos(2x)2,dx =12integral0^Ll(1-cos(2x)r),dx

Passo 4

Agora integra termo a termo:
  • integral 1,dx = x.
  • integral cos(2x),dx = 12sin(2x) (porque se você derivar sin(2x) vem 2cos(2x), então pra ajustar faz tfrac12).
Logo uma primitiva é
12l[x - tfrac12sin(2x)r]

Passo 5

É só avaliar de 0 a L:
12l[x - tfrac12sin(2x)r]|0^L =12l(L - tfrac12sin(2L)r) -12l(0 - tfrac12sin(0)r)
Como sin(0)=0, sobra
12l(L - tfrac12sin(2L)r) = L2 - sin(2L)4

Resposta

boxedintegral0^Lsin^2(x),dx = L2 - sin(2L)4

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