Resolva as seguintes integrais imediatas:
b) integral0^12(1+2 x+3 x^2+cdots+100 x^99) d x.

Passo 1

A gente quer calcular a integral
integral0^12l(1 + 2x + 3x^2 + cdots + 100x^99r),dx
Isso cai na matéria de somas de séries e integração termo a termo de polinômios. Vamos usar que sabe → (1) reconhecer padrões em somatórios e (2) Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Repara que cada termo (k+1)x^k é exatamente a derivada de x^k+1. Ou seja,
ddxl(x^k+1r) = (k+1)x^k
Isso significa que
1 + 2x + 3x^2 + cdots + 100x^99 = sumk=0^99(k+1)x^k = ddxsumk=0^99x^k+1

Passo 3

Agora basta descobrir a soma geométrica
sumk=0^99x^k+1 = x + x^2 + cdots + x^100 = x(1 - x^100)1 - x,
que é um antiderivado da nossa função. Ou seja,
F(x) = x(1 - x^100)1 - x
é uma primitiva de 1 + 2x + cdots + 100x^99.

Passo 4

Pela regra de Barrow (Teorema Fundamental do Cálculo),
integral0^12l(1 + 2x + cdots + 100x^99r)dx = Fl(tfrac12r) - F(0)
Calculando:
Fl(tfrac12r) = tfrac12l(1 - (tfrac12)^100r)1 - tfrac12 = 1 - 2^-100,
e
F(0) = 0

Passo 5

Portanto, o valor da integral é a diferença desses dois resultados.

Resposta

1 - 2^{-100}

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