Verifique se a função, ou as funções dadas, constituem solução da equação diferencial:
y^I V+4 y^prime prime prime+3 y=0 ; y1(t)=t3, y2(t)=e^-t+t3;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se as funções $ y_1(t) = \frac{t}{3} $ e $ y_2(t) = e^{-t} + \frac{t}{3} $ resolvem a equação diferencial $ y’’’’ + 4y’’’ + 3y = 0 $. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais, especificamente teste de soluções para equações diferenciais lineares. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções até a quarta ordem e substituir na equação para ver se tudo volta zero.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se $ y_1(t) = \frac{t}{3} $ é uma solução. Precisamos calcular as derivadas dessa função até a quarta ordem.

Passo 3

Calculando as derivadas de $ y_1(t) = \frac{t}{3} $:
  • Primeira derivada: $ y_1’(t) = \frac{1}{3} $
  • Segunda derivada: $ y_1’’(t) = 0 $
  • Terceira derivada: $ y_1’’’(t) = 0 $
  • Quarta derivada: $ y_1’’’’(t) = 0 $

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na equação diferencial:
y'''' + 4y''' + 3y = 0 + 4 times 0 + 3 times t3 = t
Isso resulta em $ t $, que não é igual a zero. Então, $ y_1(t) $ não satisfaz a equação diferencial.

Passo 5

Agora, vamos verificar $ y_2(t) = e^{-t} + \frac{t}{3} $. Precisamos calcular também as derivadas até a quarta ordem.

Passo 6

Calculando as derivadas de $ y_2(t) = e^{-t} + \frac{t}{3} $:
  • Primeira derivada: $ y_2’(t) = -e^{-t} + \frac{1}{3} $
  • Segunda derivada: $ y_2’’(t) = e^{-t} $
  • Terceira derivada: $ y_2’’’(t) = -e^{-t} $
  • Quarta derivada: $ y_2’’’’(t) = e^{-t} $

Passo 7

Vamos substituir essas derivadas na equação diferencial:
y'''' + 4y''' + 3y = e^-t + 4(-e^-t) + 3(e^-t + t3)
Simplificando:
e^-t - 4e^-t + 3e^-t + t = 0 + t = t
Também resulta em $ t $, que não é igual a zero. Então, $ y_2(t) $ não satisfaz a equação diferencial.

Resposta

Nenhuma das funções $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $ resolve a equação diferencial $ y’’’’ + 4y’’’ + 3y = 0 $.

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