Verifique se a função, ou as funções dadas, constituem solução da equação diferencial:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se as funções $ y_1(t) = \frac{t}{3} $ e $ y_2(t) = e^{-t} + \frac{t}{3} $ resolvem a equação diferencial $ y’’’’ + 4y’’’ + 3y = 0 $. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais, especificamente teste de soluções para equações diferenciais lineares. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções até a quarta ordem e substituir na equação para ver se tudo volta zero.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se $ y_1(t) = \frac{t}{3} $ é uma solução. Precisamos calcular as derivadas dessa função até a quarta ordem.
Passo 3
Calculando as derivadas de $ y_1(t) = \frac{t}{3} $:
- Primeira derivada: $ y_1’(t) = \frac{1}{3} $
- Segunda derivada: $ y_1’’(t) = 0 $
- Terceira derivada: $ y_1’’’(t) = 0 $
- Quarta derivada: $ y_1’’’’(t) = 0 $
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na equação diferencial:
Isso resulta em $ t $, que não é igual a zero. Então, $ y_1(t) $ não satisfaz a equação diferencial.
Passo 5
Agora, vamos verificar $ y_2(t) = e^{-t} + \frac{t}{3} $. Precisamos calcular também as derivadas até a quarta ordem.
Passo 6
Calculando as derivadas de $ y_2(t) = e^{-t} + \frac{t}{3} $:
- Primeira derivada: $ y_2’(t) = -e^{-t} + \frac{1}{3} $
- Segunda derivada: $ y_2’’(t) = e^{-t} $
- Terceira derivada: $ y_2’’’(t) = -e^{-t} $
- Quarta derivada: $ y_2’’’’(t) = e^{-t} $
Passo 7
Vamos substituir essas derivadas na equação diferencial:
Simplificando:
Também resulta em $ t $, que não é igual a zero. Então, $ y_2(t) $ não satisfaz a equação diferencial.
Resposta
Nenhuma das funções $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $ resolve a equação diferencial $ y’’’’ + 4y’’’ + 3y = 0 $.