Isto é só reescrever a integral para ficar mais claro o que vamos integrar.
Passo 3
Escolhendo um método: aqui temos um produto x\cdot \operatorname{sec}^{2}x e é típico usar integração por partes quando aparece um polinômio multiplicando uma função cuja primitiva conhecemos facilmente. Vou explicar a fórmula de integração por partes e aplicá-la em seguida.
Passo 4
Fórmula de integração por partes (explicada passo a passo):
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Significado das letras:
u é uma função de x que escolhemos (normalmente algo que fica mais simples ao derivar, como x);
dv é o resto da integral, que devemos ser capazes de integrar para obter v (ou seja, v=\int dv);
du é a derivada de u, isto é, du = u'(x)\,dx.
A ideia é transformar a integral original numa que seja mais fácil de calcular.
Passo 5
Aplicando integração por partes a \int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx:
Escolhemos
u = x \quad\Rightarrow\quad du = dx,
dv = \operatorname{sec}^{2}x\,dx \quad\Rightarrow\quad v = \tan x,
pois sabemos (fato básico) que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x, então \int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \tan x.