Resolva as seguintes integrais indefinidas:
\int \frac{9 x}{\cos ^{2} x} \cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{9 x}{\cos^{2} x}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{(i)}\quad \text{A função integranda é } \frac{9x}{\cos^{2}x}=9x\operatorname{sec}^{2}x.çãé
\text{(ii)}\quad \text{Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função }F(x)\text{ tal que }F'(x)=\frac{9x}{\cos^{2}x}.çãéçã

Passo 2

Primeiro simplificamos a aparência da integral, fatorando o 9:
\int \frac{9 x}{\cos^{2} x}\,dx = 9\int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Isto é só reescrever a integral para ficar mais claro o que vamos integrar.

Passo 3

Escolhendo um método: aqui temos um produto x\cdot \operatorname{sec}^{2}x e é típico usar integração por partes quando aparece um polinômio multiplicando uma função cuja primitiva conhecemos facilmente. Vou explicar a fórmula de integração por partes e aplicá-la em seguida.

Passo 4

Fórmula de integração por partes (explicada passo a passo):
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Significado das letras:
  • u é uma função de x que escolhemos (normalmente algo que fica mais simples ao derivar, como x);
  • dv é o resto da integral, que devemos ser capazes de integrar para obter v (ou seja, v=\int dv);
  • du é a derivada de u, isto é, du = u'(x)\,dx.
    A ideia é transformar a integral original numa que seja mais fácil de calcular.

Passo 5

Aplicando integração por partes a \int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx:
Escolhemos
u = x \quad\Rightarrow\quad du = dx,
dv = \operatorname{sec}^{2}x\,dx \quad\Rightarrow\quad v = \tan x,
pois sabemos (fato básico) que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x, então \int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \tan x.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx = x\cdot \tan x - \int \tan x\,dx.
Expliquei anteriormente cada termo: uv = x\tan x e \int v\,du = \int \tan x\,dx.

Passo 7

Calculamos \int \tan x\,dx. Lembrete: \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}. Uma primitiva conhecida é
\int \tan x\,dx = -\ln\!\big|\cos x\big| + C,
porque, se derivarmos -\ln|\cos x|, obtemos -\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x.
Portanto,
\int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx = x\tan x - \big(-\ln|\cos x|\big) = x\tan x + \ln|\cos x| + C.

Passo 8

Voltando ao fator 9 que estava fora:
9\int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx = 9\big(x\tan x + \ln|\cos x|\big) + C.
Aqui C é a constante de integração (pode absorver constantes múltiplas).

Passo 9

Checagem rápida por diferenciação (para ganhar confiança): derivando
F(x)=9x\tan x + 9\ln|\cos x|
temos
F'(x)=9\big(\tan x + x\operatorname{sec}^{2}x\big) + 9\big(-\tan x\big) = 9x\operatorname{sec}^{2}x,
que é exatamente o integrando original \dfrac{9x}{\cos^{2}x}. Então a primitiva está correta.

Resposta

9x\tan x + 9\ln\big|\cos x\big| + C

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