Resolva as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
é uma integral indefinida (logo o resultado terá uma constante de integração
) e a função
exige
(por isso indicamos o valor absoluto). Nada mais é fornecido.
Passo 2
Observação que facilita a escolha do método: note que a derivada de
é exatamente
. Ou seja, podemos escrever o integrando como
Isso sugere usar a fórmula da integração por partes. Vou usar a forma
escolhendo
e
de forma a deixar
simples e
fácil de calcular. Aqui a escolha natural é
porque
será simples e
será
.
Passo 3
Calcular
e
.
Primeiro, use a propriedade
. Derivando:
portanto
Agora integramos
para obter
:
(Desprezamos a constante na construção de
porque ela será absorvida pela constante final.)
Passo 4
Aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando o integrando da integral restante:
Passo 5
Calcular a integral restante:
Substituindo de volta:
Passo 6
Podemos deixar a resposta organizada. Uma forma clara é:
Se quiseres, dá para factorizar
em alguns termos, mas essa forma já é direta e suficiente.