Resolva as seguintes integrais indefinidas:
\int\left(3 x^{2}+1\right) \cdot \ln |2 x| \cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(3 x^{2}+1\right)\cdot \ln\lvert 2x\rvert\;dx.
Informações relevantes dadas:
\text{integrando} = \left(3 x^{2}+1\right)\cdot \ln\lvert 2x\rvert,
é uma integral indefinida (logo o resultado terá uma constante de integração C) e a função \ln\lvert 2x\rvert exige x\neq 0 (por isso indicamos o valor absoluto). Nada mais é fornecido.

Passo 2

Observação que facilita a escolha do método: note que a derivada de x^{3}+x é exatamente 3x^{2}+1. Ou seja, podemos escrever o integrando como
(3x^{2}+1)\cdot \ln\lvert 2x\rvert = \bigl(x^{3}+x\bigr)'\cdot \ln\lvert 2x\rvert.
Isso sugere usar a fórmula da integração por partes. Vou usar a forma
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
escolhendo u e dv de forma a deixar du simples e \int v\,du fácil de calcular. Aqui a escolha natural é
u = \ln\lvert 2x\rvert,\qquad dv = (3x^{2}+1)\,dx,
porque du será simples e v será x^{3}+x.

Passo 3

Calcular du e v.
Primeiro, use a propriedade \ln\lvert 2x\rvert=\ln 2+\ln\lvert x\rvert. Derivando:
\frac{d}{dx}\ln\lvert 2x\rvert=\frac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert=\frac{1}{x},
portanto
du = \frac{1}{x}\,dx.
Agora integramos dv para obter v:
v = \int (3x^{2}+1)\,dx = \int 3x^{2}\,dx + \int 1\,dx = x^{3}+x.
(Desprezamos a constante na construção de v porque ela será absorvida pela constante final.)

Passo 4

Aplicar a fórmula da integração por partes:
\int\left(3 x^{2}+1\right)\ln\lvert 2x\rvert\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
= \bigl(x^{3}+x\bigr)\ln\lvert 2x\rvert - \int \bigl(x^{3}+x\bigr)\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando o integrando da integral restante:
\bigl(x^{3}+x\bigr)\cdot\frac{1}{x} = x^{2}+1.

Passo 5

Calcular a integral restante:
\int (x^{2}+1)\,dx = \int x^{2}\,dx + \int 1\,dx = \frac{1}{3}x^{3}+x.
Substituindo de volta:
\int\left(3 x^{2}+1\right)\ln\lvert 2x\rvert\,dx = \bigl(x^{3}+x\bigr)\ln\lvert 2x\rvert - \left(\frac{1}{3}x^{3}+x\right) + C.

Passo 6

Podemos deixar a resposta organizada. Uma forma clara é:
\boxed{\,\bigl(x^{3}+x\bigr)\ln\lvert 2x\rvert - \frac{1}{3}x^{3} - x + C\,}
Se quiseres, dá para factorizar x em alguns termos, mas essa forma já é direta e suficiente.

Resposta

\bigl(x^{3}+x\bigr)\ln\lvert 2x\rvert - \dfrac{1}{3}x^{3} - x + C

Exercícios relacionados