Resolva as seguintes integrais indefinidas:
\int \frac{\ln |6 x|}{4 x^{5}} \cdot d x

Passo 1

Temos que calcular a integral indefinida
\int \frac{\ln|6x|}{4x^{5}}\,dx.
Informações fornecidas:
\text{ integrando } = \frac{\ln|6x|}{4x^{5}}.
O que o enunciado pede: encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\ln|6x|}{4x^{5}}.

Passo 2

Estratégia: notar que o integrando tem um termo logarítmico \ln|6x| multiplicado por uma potência de x. Um método padrão para integrar produtos que envolvem logaritmo é a técnica de integração por partes. Vou usar a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u e v são funções de x. Explico:
  • u é a parte que escolhemos para derivar (calculamos du);
  • dv é a parte que escolhemos para integrar (calculamos v tal que dv=v'(x)\,dx).
    A escolha costuma ser: deixar u igual ao logaritmo (porque deriva para algo mais simples) e dv a potência de x.

Passo 3

Escolhas concretas:
u = \ln|6x|,\qquad dv = x^{-5}\,dx.
Justificativa: \ln|6x| fica mais simples ao derivar (vira 1/x) e x^{-5} é simples de integrar.

Passo 4

Calcular du e v.
Derivada de \ln|6x|:
\ln|6x| = \ln 6 + \ln|x|,
então
\frac{d}{dx}\ln|6x| = \frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x}.
Portanto
du = \frac{1}{x}\,dx.
Integrar dv:
Usamos a regra da potência \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
Aqui n=-5, então
v=\int x^{-5}\,dx=\frac{x^{-4}}{-4}=-\frac{1}{4}x^{-4}.

Passo 5

Aplicar a fórmula de integração por partes à integral
J=\int \ln|6x|\;x^{-5}\,dx.
Pela fórmula:
J = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
J = \left(\ln|6x|\right)\left(-\frac{1}{4}x^{-4}\right) - \int \left(-\frac{1}{4}x^{-4}\right)\left(\frac{1}{x}\,dx\right).

Passo 6

Simplificar a expressão obtida:
Primeiro termo:
\left(\ln|6x|\right)\left(-\frac{1}{4}x^{-4}\right) = -\frac{1}{4}x^{-4}\ln|6x|.
Integral restante:
- \int \left(-\frac{1}{4}x^{-4}\right)\left(\frac{1}{x}\right)\,dx = +\frac{1}{4}\int x^{-5}\,dx.
Portanto
J = -\frac{1}{4}x^{-4}\ln|6x| + \frac{1}{4}\int x^{-5}\,dx.

Passo 7

Calcular \int x^{-5}\,dx e substituir:
\int x^{-5}\,dx = -\frac{1}{4}x^{-4}.
Logo
J = -\frac{1}{4}x^{-4}\ln|6x| + \frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4}x^{-4}\right) + C
J = -\frac{1}{4}x^{-4}\ln|6x| - \frac{1}{16}x^{-4} + C.

Passo 8

Agora voltamos à integral original. Lembrando que
\int \frac{\ln|6x|}{4x^{5}}\,dx = \frac{1}{4}\int \ln|6x|\;x^{-5}\,dx = \frac{1}{4}J.
Substituindo J:
\int \frac{\ln|6x|}{4x^{5}}\,dx = \frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4}x^{-4}\ln|6x| - \frac{1}{16}x^{-4}\right) + C.
Multiplicando os coeficientes:
\int \frac{\ln|6x|}{4x^{5}}\,dx = -\frac{1}{16}x^{-4}\ln|6x| - \frac{1}{64}x^{-4} + C.

Passo 9

Opcional: escrever de forma mais compacta combinando fatores. Note que x^{-4}=\dfrac{1}{x^{4}}. Podemos escrever:
-\frac{1}{16}x^{-4}\ln|6x| - \frac{1}{64}x^{-4} = -\frac{4\ln|6x|+1}{64}\,x^{-4} = -\frac{4\ln|6x|+1}{64x^{4}}.
Ambas as formas são equivalentes.

Resposta

-\frac{4\ln|6x|+1}{64x^{4}}+C

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