Resolva as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Temos que calcular a integral indefinida
Informações fornecidas:
O que o enunciado pede: encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, isto é, uma função
tal que
.
Passo 2
Estratégia: notar que o integrando tem um termo logarítmico
multiplicado por uma potência de
. Um método padrão para integrar produtos que envolvem logaritmo é a técnica de integração por partes. Vou usar a fórmula de integração por partes:
Aqui
e
são funções de
. Explico:
-
é a parte que escolhemos para derivar (calculamos ); -
é a parte que escolhemos para integrar (calculamos tal que ).
A escolha costuma ser: deixarigual ao logaritmo (porque deriva para algo mais simples) e a potência de .
Passo 3
Escolhas concretas:
Justificativa:
fica mais simples ao derivar (vira
) e
é simples de integrar.
Passo 4
Calcular
e
.
Derivada de
:
então
Portanto
Integrar
:
Usamos a regra da potência para
.
Aqui , então
Usamos a regra da potência
Aqui
Passo 5
Aplicar a fórmula de integração por partes à integral
Pela fórmula:
Substituindo
,
e
:
Passo 6
Simplificar a expressão obtida:
Primeiro termo:
Primeiro termo:
Integral restante:
Portanto
Passo 7
Calcular
e substituir:
Logo
Passo 8
Agora voltamos à integral original. Lembrando que
Substituindo
:
Multiplicando os coeficientes:
Passo 9
Opcional: escrever de forma mais compacta combinando fatores. Note que
. Podemos escrever:
Ambas as formas são equivalentes.