Resolva as seguintes integrais indefinidas:
\int x^{3} \cdot \ln |x| \cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integração indefinida) da função dada. Ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=x^{3}\ln|x|.
Informações relevantes:
\text{Integral a resolver: }\int x^{3}\cdot\ln|x|\;dx.
Observação: \ln|x| está definida para x\neq0, logo a primitiva vale em cada intervalo onde x>0 ou x<0. Vamos tratar a integral formalmente sem dividir os casos, usando \ln|x|.

Passo 2

Apresento uma técnica útil aqui: a fórmula de integração por partes. Ela serve para integrar produtos de funções e é baseada na regra do produto da diferenciação.
Fórmula:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde:
  • u=u(x) é uma função escolhida para ser diferenciada;
  • dv é a parte que será integrada para obter v;
  • du é a diferencial de u, ou seja, du = u'(x)\,dx;
  • v é uma primitiva de dv, ou seja, v=\int dv.
Explicando em palavras: escolhemos separar o integrando em duas partes u e dv. Calculamos du diferenciando u e calculamos v integrando dv. Depois aplicamos a fórmula acima, que troca a integração de um produto por outra integral que costuma ser mais simples.

Passo 3

Escolha das partes u e dv. Regra prática: escolher u como a parte que fica mais simples ao ser diferenciada, e dv como a parte fácil de integrar.
Aqui escolhemos:
u=\ln|x|,\qquad dv=x^{3}\,dx.
Justificativa: \ln|x| ao ser diferenciada vira 1/x, que reduz a potência de x quando multiplicada por x^{3}. E x^{3} é fácil de integrar.
Agora calculamos du e v:
du = d(\ln|x|) = \frac{1}{x}\,dx,
v = \int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x^{3}\ln|x|\;dx = \int u\,dv = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v, du:
\int x^{3}\ln|x|\;dx = \frac{x^{4}}{4}\ln|x| - \int \frac{x^{4}}{4}\cdot\frac{1}{x}\,dx.

Passo 5

Simplificamos a integral restante:
\int \frac{x^{4}}{4}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{4}\int x^{3}\,dx.
Agora integramos x^{3}:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.
Logo
\frac{1}{4}\int x^{3}\,dx = \frac{1}{4}\cdot\frac{x^{4}}{4} = \frac{x^{4}}{16}.

Passo 6

Substituindo de volta no resultado da partes:
\int x^{3}\ln|x|\;dx = \frac{x^{4}}{4}\ln|x| - \frac{x^{4}}{16} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança): diferenciando o resultado obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{4}}{4}\ln|x| - \frac{x^{4}}{16}\right) = \frac{x^{4}}{4}\cdot\frac{1}{x} + \ln|x|\cdot x^{3} - \frac{4x^{3}}{16}.
Simplificando os termos:
\frac{x^{3}}{4} + x^{3}\ln|x| - \frac{x^{3}}{4} = x^{3}\ln|x|,
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Passo 8

Exemplo extra rápido (padrão) para fixar o procedimento: se em vez de x^{3} tivéssemos x^{2}, repetindo o mesmo raciocínio obtemos
\int x^{2}\ln|x|\;dx = \frac{x^{3}}{3}\ln|x| - \frac{x^{3}}{9} + C.
Isto mostra o padrão: escolher u=\ln|x| e integrar a potência de x.

Resposta

\frac{x^{4}}{4}\ln|x| - \frac{x^{4}}{16} + C

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