Resolva as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (integração indefinida) da função dada. Ou seja, encontrar uma função
tal que
.
Informações relevantes:
Observação:
está definida para
, logo a primitiva vale em cada intervalo onde
ou
. Vamos tratar a integral formalmente sem dividir os casos, usando
.
Passo 2
Apresento uma técnica útil aqui: a fórmula de integração por partes. Ela serve para integrar produtos de funções e é baseada na regra do produto da diferenciação.
Fórmula:
onde:
-
é uma função escolhida para ser diferenciada; -
é a parte que será integrada para obter ; -
é a diferencial de , ou seja, ; -
é uma primitiva de , ou seja, .
Explicando em palavras: escolhemos separar o integrando em duas partes
e
. Calculamos
diferenciando
e calculamos
integrando
. Depois aplicamos a fórmula acima, que troca a integração de um produto por outra integral que costuma ser mais simples.
Passo 3
Escolha das partes
e
. Regra prática: escolher
como a parte que fica mais simples ao ser diferenciada, e
como a parte fácil de integrar.
Aqui escolhemos:
Justificativa:
ao ser diferenciada vira
, que reduz a potência de
quando multiplicada por
. E
é fácil de integrar.
Agora calculamos
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
,
:
Passo 5
Simplificamos a integral restante:
Agora integramos
:
Logo
Passo 6
Substituindo de volta no resultado da partes:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança): diferenciando o resultado obtemos
Simplificando os termos:
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.
Passo 8
Exemplo extra rápido (padrão) para fixar o procedimento: se em vez de
tivéssemos
, repetindo o mesmo raciocínio obtemos
Isto mostra o padrão: escolher
e integrar a potência de
.