Resolva as seguintes integrais indefinidas:
integral(x ln (x^2+1)+e^3 x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral(x ln (x^2+1)+e^3 x) dx. Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais que envolvem funções logarítmicas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes e algumas propriedades básicas das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos quebrar a integral em duas partes separadas para facilitar:
integral x ln(x^2 + 1) , dx e integral e^3x , dx
Assim, a integral original fica:
integral(x ln (x^2+1)+e^3 x) dx = integral x ln(x^2 + 1) , dx + integral e^3x , dx

Passo 3

Vamos começar pela primeira parte: integral x ln(x^2 + 1) , dx. Aqui, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher u e dv:
  • Escolha de u: Vamos deixar a função logarítmica como u, então u = ln(x^2 + 1).
  • Escolha de dv: O resto da expressão será dv = x , dx.

Passo 4

Agora, vamos calcular du e v:
  • Derivada de u:
    du = ddx ln(x^2 + 1) , dx = 2xx^2 + 1 , dx
  • Integral de dv:
    v = integral x , dx = 12x^2

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x ln(x^2 + 1) , dx = uv - integral v , du = ln(x^2 + 1) cdot 12x^2 - integral 12x^2 cdot 2xx^2 + 1 , dx
Simplificando:
= 12x^2 ln(x^2 + 1) - integral x^3x^2 + 1 , dx

Passo 6

Agora, precisamos resolver integral x^3x^2 + 1 , dx. Vamos simplificar a fração:
x^3x^2 + 1 = x - xx^2 + 1
Então, a integral fica:
integral x^3x^2 + 1 , dx = integral x , dx - integral xx^2 + 1 , dx

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
  • Integral de x , dx:
    integral x , dx = 12x^2
  • Integral de xx^2 + 1 , dx:
    Fazendo a substituição w = x^2 + 1, então dw = 2x , dx, ou seja, $ \frac{1}{2} dw = x , dx $.
    Assim,
    12 dw = x , dx

Passo 8

Voltando à nossa expressão:
integral x^3x^2 + 1 , dx = 12x^2 - 12 ln(x^2 + 1) + C
Substituindo de volta na integração por partes:
integral x ln(x^2 + 1) , dx = 12x^2 ln(x^2 + 1) - ( 12x^2 - 12 ln(x^2 + 1) ) + C
Simplificando:
= 12x^2 ln(x^2 + 1) - 12x^2 + 12 ln(x^2 + 1) + C

Passo 9

Agora, vamos para a segunda parte da integral original: integral e^3x , dx.
A integral de uma função exponencial e^kx é:
integral e^kx , dx = 1k e^kx + C
Aplicando isso aqui:
integral e^3x , dx = 13 e^3x + C

Passo 10

Finalmente, juntando as duas partes que resolvemos:
integral(x ln (x^2+1)+e^3 x) dx = 12x^2 ln(x^2 + 1) - 12x^2 + 12 ln(x^2 + 1) + 13 e^3x + C

Resposta

A integral indefinida é:
12x^2ln(x^2+1) - 12x^2 + 12ln(x^2+1) + 13e^3x + C

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