Resolva as seguintes integrais indefinidas:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
. Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais que envolvem funções logarítmicas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes e algumas propriedades básicas das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos quebrar a integral em duas partes separadas para facilitar:
Assim, a integral original fica:
Passo 3
Vamos começar pela primeira parte:
. Aqui, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Precisamos escolher
e
:
- Escolha de
: Vamos deixar a função logarítmica como , então . - Escolha de
: O resto da expressão será .
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
-
Derivada de
: -
Integral de
:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos resolver
. Vamos simplificar a fração:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente:
-
Integral de
: -
Integral de
: Fazendo a substituição, então , ou seja, $ \frac{1}{2} dw = x , dx $. Assim,
Passo 8
Voltando à nossa expressão:
Substituindo de volta na integração por partes:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos para a segunda parte da integral original:
.
A integral de uma função exponencial
é:
Aplicando isso aqui:
Passo 10
Finalmente, juntando as duas partes que resolvemos:
Resposta
A integral indefinida é: