Resolva as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida de $ \int\left(e{x}+\frac{x{2}}{2}\right) , dx $. Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente, integração. Para resolver essa integral, vamos usar o fato de que a integral de uma soma é igual à soma das integrais. Além disso, vamos precisar lembrar das integrais básicas de funções exponenciais e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes:
Isso facilita a resolução, já que podemos integrar cada parte individualmente.
Passo 3
Vamos resolver a primeira integral: $ \int e^{x} , dx $.
A função $ e^{x} $ é uma das funções exponenciais mais simples de integrar. A integral de $ e^{x} $ em relação a $ x $ é simplesmente $ e^{x} $, porque a derivada de $ e^{x} $ é $ e^{x} $.
Então:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda integral: $ \int \frac{x^{2}}{2} , dx $.
Primeiro, podemos fatorar a constante $ \frac{1}{2} $ para fora da integral:
Agora, precisamos integrar $ x^{2} $. A regra básica para integrar potências de $ x $ é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Ou seja:
Aplicando isso para $ n = 2 $:
Então:
Passo 5
Agora, juntamos as duas integrais que resolvemos:
Aqui, $ C $ representa a constante de integração geral, que combina $ C_1 $ e $ C_2 $.
Resposta
A integral indefinida é: