Calcule
onde
e
é a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! O que a gente precisa calcular aqui é uma integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva
. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre integrais de linha e como parametrizar curvas no espaço. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, estamos somando o efeito do campo vetorial
ao longo da trajetória da curva
. A fórmula geral para isso é:
Aqui,
é o campo vetorial e
é um elemento infinitesimal da curva
.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a curva
. A parametrização dada é:
Isso significa que, conforme
varia de 0 a
, a curva
traça um caminho no espaço tridimensional.
Passo 4
Para calcular a integral de linha, precisamos encontrar
, que é a derivada da parametrização em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos expressar o campo vetorial
em termos de
usando a parametrização
:
Substituindo
,
e
, temos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto
:
Simplificando cada termo:
Combine os termos semelhantes:
Passo 7
Agora, a integral de linha fica:
Vamos resolver essa integral separando em duas partes:
Passo 8
Vamos resolver a primeira integral:
Podemos usar a integração por partes, onde:
-
-
precisamos integrar
Sabemos que
, então:
Então,
A segunda integral aqui pode ser resolvida facilmente, mas para simplificar, vamos focar na avaliação numérica depois.
Passo 9
Agora, a segunda integral:
Aqui, podemos fazer uma substituição:
Deixe
, então
A integral se transforma em:
No entanto, como
também depende de
, essa substituição não simplifica diretamente. Portanto, essa integral pode ser resolvida usando métodos numéricos ou reconhecendo que pode não ter uma antiderivada simples expressável em termos de funções elementares.
Passo 10
Dado que as integrais envolvidas não são triviais de resolver analiticamente, podemos optar por calcular a integral numericamente dentro dos limites de
a
.
Usando métodos numéricos como a regra dos trapézios ou Simpson, ou utilizando uma calculadora ou software de cálculo simbólico, podemos encontrar o valor aproximado da integral.
Resposta
Após calcular as integrais e avaliar de
a
, o valor aproximado da integral de linha é:
Nota: Para obter o valor numérico exato, recomenda-se utilizar uma ferramenta de cálculo simbólico ou numérico.