Resolva as seguintes integrais indefinidas pelo método que achar conveniente:
(0,5) integral ln (5 x+3) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
0,5integral ln(5x+3),dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos o produto de uma função logarítmica com dx.

Passo 2

Extraímos a constante 0,5 para fora da integral:
0,5integral ln(5x+3),dx = 12integral ln(5x+3),dx

Passo 3

Aplicamos integração por partes em integral ln(5x+3),dx. Tomamos
u = ln(5x+3), dv = dx
Então
du = 55x+3,dx, v = x

Passo 4

Pela fórmula integral u,dv = uv - integral v,du, temos
integral ln(5x+3),dx = xln(5x+3) - integral xcdot55x+3,dx
Para integral 5x5x+3,dx fazemos a divisão
5x5x+3 = 1 - 35x+3,
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integral 5x5x+3,dx = integral 1,dx - integral 35x+3,dx = x - 35ln(5x+3) + C

Passo 5

Substituindo de volta em integral ln(5x+3),dx:
integral ln(5x+3),dx = xln(5x+3) - l(x - tfrac35ln(5x+3)r) + C = l(x + tfrac35r)ln(5x+3) - x + C
Escrevendo de forma mais compacta,
integral ln(5x+3),dx = 5x+35ln(5x+3) - x + C
Multiplicando por tfrac12, chegamos ao resultado final.

Resposta

5x+310,ln(5x+3);-;x2;+;C

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