Juntando as duas parcelas, lembrando do sinal negativo na separação inicial:
\int \frac{x^{3}-x}{x^{4}+36}\,dx = \underbrace{\frac{1}{4}\ln\bigl(x^{4}+36\bigr)}_{\text{da primeira parcela}} \;-\;\underbrace{\frac{1}{12}\arctan\!\left(\frac{x^{2}}{6}\right)}_{\text{da segunda parcela}} + C,
onde C é a constante geral de integração (combinação de C_{1} e C_{2}).
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (útil na prova para checar): derivando F(x)=\frac{1}{4}\ln(x^{4}+36)-\frac{1}{12}\arctan\!\left(\frac{x^{2}}{6}\right),
F'(x) da primeira parte: \frac{1}{4}\cdot\frac{4x^{3}}{x^{4}+36}=\frac{x^{3}}{x^{4}+36}.
F'(x) da segunda parte: -\frac{1}{12}\cdot\frac{2x/6}{1+(x^{2}/6)^{2}} = -\frac{1}{12}\cdot\frac{x/3}{(x^{4}+36)/36} = -\frac{x}{x^{4}+36}.
Somando dá exatamente \displaystyle \frac{x^{3}-x}{x^{4}+36}, confirmação de que a primitiva está correta.