Resolva as seguintes integrais indefinidas a seguir:
\int \frac{x^{3}-x}{x^{4}+36} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{3}-x}{x^{4}+36}\,dx.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A função integranda é \frac{x^{3}-x}{x^{4}+36}.
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\frac{x^{3}-x}{x^{4}+36}.
  • Observação útil: para todo x real temos x^{4}+36>0, então não precisamos nos preocupar com logaritmo de valores negativos.

Passo 2

Primeiro passo prático: separar a fração em duas parcelas mais simples.
\frac{x^{3}-x}{x^{4}+36}=\frac{x^{3}}{x^{4}+36}-\frac{x}{x^{4}+36}.
Explicação: é legítimo dividir o numerador em duas partes e tratar cada integral separadamente:
\int \frac{x^{3}-x}{x^{4}+36}\,dx = \int \frac{x^{3}}{x^{4}+36}\,dx - \int \frac{x}{x^{4}+36}\,dx.
Agora vamos resolver cada uma das integrais à parte.

Passo 3

Integral da primeira parcela \displaystyle \int \frac{x^{3}}{x^{4}+36}\,dx.
Técnica: substituição. Definimos a nova variável
u = x^{4}+36.
Derivando, obtemos
du = 4x^{3}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{3}\,dx = \frac{du}{4}.
Substituindo na integral,
\int \frac{x^{3}}{x^{4}+36}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int \frac{du}{u}.
Fórmula usada: \displaystyle \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C. Como u=x^{4}+36>0, podemos escrever sem o valor absoluto:
\int \frac{x^{3}}{x^{4}+36}\,dx = \frac{1}{4}\ln\bigl(x^{4}+36\bigr) + C_{1}.

Passo 4

Integral da segunda parcela \displaystyle \int \frac{x}{x^{4}+36}\,dx.
Técnica: nova substituição que torne o denominador em soma de quadrados. Definimos
t = x^{2}.
Derivando, obtemos
dt = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{dt}{2}.
Reescrevendo o denominador: x^{4}+36 = t^{2}+36. Assim,
\int \frac{x}{x^{4}+36}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^{2}+36}.
Agora usamos a fórmula padrão para integrais da forma \displaystyle \int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}.
Aula rápida sobre essa fórmula:
  • Seja a>0. Então
\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right) + C.
Porque a derivada de \arctan\!\left(\frac{u}{a}\right) é
\frac{d}{du}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right) = \frac{1}{1+(u/a)^{2}}\cdot\frac{1}{a} = \frac{a}{u^{2}+a^{2}}\cdot\frac{1}{a} = \frac{1}{u^{2}+a^{2}}.
No nosso caso, a^{2}=36 então a=6. Portanto
\int \frac{dt}{t^{2}+36} = \frac{1}{6}\arctan\!\left(\frac{t}{6}\right) + C.
Voltando à integral original:
\int \frac{x}{x^{4}+36}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}\arctan\!\left(\frac{t}{6}\right) + C_{2} = \frac{1}{12}\arctan\!\left(\frac{x^{2}}{6}\right) + C_{2}.

Passo 5

Juntando as duas parcelas, lembrando do sinal negativo na separação inicial:
\int \frac{x^{3}-x}{x^{4}+36}\,dx = \underbrace{\frac{1}{4}\ln\bigl(x^{4}+36\bigr)}_{\text{da primeira parcela}} \;-\;\underbrace{\frac{1}{12}\arctan\!\left(\frac{x^{2}}{6}\right)}_{\text{da segunda parcela}} + C,
onde C é a constante geral de integração (combinação de C_{1} e C_{2}).

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (útil na prova para checar): derivando F(x)=\frac{1}{4}\ln(x^{4}+36)-\frac{1}{12}\arctan\!\left(\frac{x^{2}}{6}\right),
  • F'(x) da primeira parte: \frac{1}{4}\cdot\frac{4x^{3}}{x^{4}+36}=\frac{x^{3}}{x^{4}+36}.
  • F'(x) da segunda parte: -\frac{1}{12}\cdot\frac{2x/6}{1+(x^{2}/6)^{2}} = -\frac{1}{12}\cdot\frac{x/3}{(x^{4}+36)/36} = -\frac{x}{x^{4}+36}.
Somando dá exatamente \displaystyle \frac{x^{3}-x}{x^{4}+36}, confirmação de que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\ln\bigl(x^{4}+36\bigr)-\frac{1}{12}\arctan\!\left(\frac{x^{2}}{6}\right)+C

Exercícios relacionados