Resolva as seguintes integrais indefinidas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é o produto de
por
de uma função composta
. O que se pede: encontrar uma primitiva dessa função (integral indefinida), ou seja, uma função
tal que
. Vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Idea-chave: perceber que dentro do cosseno temos a função
e que sua derivada aparece (proporcionalmente) no integrando. Isso sugere usar a substituição
(função interna). A técnica de substituição funciona assim: se tiver uma integral da forma
, podemos fazer
, então
e a integral vira
. Aqui vamos aplicar isso explicitamente.
Passo 3
Definimos a substituição:
Agora calculamos
derivando ambos os lados em relação a
:
Isto nos dá a relação entre
e
:
Passo 4
Expressamos
em termos de
. Usando
,
Passo 5
Substituímos na integral original. A integral
fica
Aqui foi apenas fatorada a constante
para fora da integral.
Passo 6
Sabemos que uma primitiva de
é
, pois
. Portanto
onde
é a constante de integração. Voltando à variável original
(volta da substituição
),
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando
temos, por regra da cadeia,
que é exatamente a integranda. Tudo confere!