Resolva as seguintes integrais indefinidas a seguir:
\int 2 x^{9} \cdot \cos \left(x^{10}+7\right) \cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 2 x^{9} \cdot \cos\left(x^{10}+7\right)\,dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de 2 x^{9} por \cos de uma função composta x^{10}+7. O que se pede: encontrar uma primitiva dessa função (integral indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=2 x^{9}\cos(x^{10}+7). Vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Idea-chave: perceber que dentro do cosseno temos a função x^{10}+7 e que sua derivada aparece (proporcionalmente) no integrando. Isso sugere usar a substituição u = (função interna). A técnica de substituição funciona assim: se tiver uma integral da forma \int f(g(x))g'(x)\,dx, podemos fazer u=g(x), então du=g'(x)\,dx e a integral vira \int f(u)\,du. Aqui vamos aplicar isso explicitamente.

Passo 3

Definimos a substituição:
u = x^{10}+7.
Agora calculamos du derivando ambos os lados em relação a x:
du = \frac{d}{dx}\big(x^{10}+7\big)\,dx = 10x^{9}\,dx.
Isto nos dá a relação entre x^{9}\,dx e du:
x^{9}\,dx = \frac{1}{10}\,du.

Passo 4

Expressamos 2x^{9}\,dx em termos de du. Usando x^{9}\,dx=\frac{1}{10}\,du,
2x^{9}\,dx = 2\cdot\frac{1}{10}\,du = \frac{1}{5}\,du.

Passo 5

Substituímos na integral original. A integral
\int 2 x^{9} \cdot \cos\left(x^{10}+7\right)\,dx
fica
\int \cos(u)\cdot \frac{1}{5}\,du = \frac{1}{5}\int \cos(u)\,du.
Aqui foi apenas fatorada a constante \frac{1}{5} para fora da integral.

Passo 6

Sabemos que uma primitiva de \cos(u) é \sin(u), pois \dfrac{d}{du}\sin(u)=\cos(u). Portanto
\frac{1}{5}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{5}\sin(u) + C,
onde C é a constante de integração. Voltando à variável original x (volta da substituição u=x^{10}+7),
\frac{1}{5}\sin(u)+C = \frac{1}{5}\sin\big(x^{10}+7\big)+C.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando \frac{1}{5}\sin\big(x^{10}+7\big) temos, por regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{5}\sin\big(x^{10}+7\big)\right) = \frac{1}{5}\cos\big(x^{10}+7\big)\cdot 10x^{9} =2x^{9}\cos\big(x^{10}+7\big),
que é exatamente a integranda. Tudo confere!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}\sin\big(x^{10}+7\big)+C

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